拉普拉斯方程是什么啊
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发布时间：2022-05-26 11:49
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时间：2023-10-15 17:03
将场位关系 代入基本方程 可得
而 称为拉普拉斯算符，上式通常写成
（2.3.18）
称为电位的泊松方程，它是一个非齐次二阶微分方程。
在无源区域中，由于 ，此时电位的方程变为齐次二阶微分方程
（2.3.19）
称为拉普拉斯方程。
在直角坐标系中，拉普拉斯算符可以写成：
在圆柱坐标系和球坐标系下 的算式以及相应的泊松方程和拉普拉斯方程由附录Ⅱ给出。
前已所述，对静电场的求解，如果已知全空间的电荷分布，或电荷分布在有限的区域，且区域形状简单、电荷分布具有较好的对称性，则可用对场源的矢量积分或基本方程直接求电场强度，但求解的范围极为有限。引入电位函数后，求静电场的问题变为求静电位的问题，也就是在有源区域求解泊松方程，在无源区域求解拉普拉斯方程。在很多情况下，我们遇到的是有限区域的问题，此时，不仅要知道该区域中的电荷分布，还必须给出静电场在边界上的边界条件。这种给定边界条件下求解有限区域内场的问题，称为边值问题。
图2.3.3 同轴传输线的电场分布
例2.3.4 同轴传输线的内导体半径 ，外导体内半径 。已知内导体的电位为 ，外导体接地，如图2.3.3所示。试求同轴传输线内的电位和电场分布。
解 在柱坐标系中，由于同轴传输线的结构具有轴对称性，而电位在内导体表面均匀分布，在外导体表面上为零。故线内电位和电场也具有轴对称性。线内电位满足拉普拉斯方程。
边界条件为：当 ；当 。 根据方程可得
或
积分得
代入边界条件
当 时， ，得
当 时， 代入 与 的关系式得：
于是
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时间：2023-10-15 17:04
