极坐标下积分求弧长
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发布时间：2022-04-22 04:49
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热心网友
时间：2023-07-06 17:24
求阿基米德螺线 r=aθ (a>0，0≦θ≦2π)的弧长。
在研究曲线时，我们总引进弧长作为参数，一方面是由于曲线的一般参数 t 不具有任何几何意义，另一方面，因为弧长是曲线的刚体运动不变量，用弧长作参数，可大大简化公式，并较容易导出其他不变量。
扩展资料：
设为连续曲线(如图1)。它的端点分别为A，B，在A，B之间任取n-1个点：P1，P2，…Pn-1。为方便计，把A写成P0，把B写成Pn。它们将Γ分成n段。设各点对应的参数依次为a=t0，t1，t2，…，tn-1，tn=b。
用直线段连结相邻的点，得到一折线形。当分点无限增加时，若σn趋于一个与分点的选择无关的确定极限，则称此极限为曲线段AB的弧长。曲线有长度的充要条件是其坐标函数 为有界变差函数。特别，微分几何中考虑的 类曲线(k≥1)都有长度。
参考资料来源：百度百科-弧长
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时间：2023-07-06 17:24
求阿基米德螺线 r=aθ (a>0，0≦θ≦2π)的弧长。
解：弧长S：
热心网友
时间：2023-07-06 17:25
本题r=aθ
x=rcosθ=aθcosθ
y=rsinθ=aθsinθ
dx=a(cosθ－θsinθ)dθ
dy=a(sinθ＋θcosθ)dθ
(dx)²＋(dy)²=a²(1＋θ²)(dθ)²
所以l=a∫(0，2π) ∨(1＋θ²)dθ ①
=a∫(0，2π) (1＋θ²)/∨(1＋θ²)dθ (①式被积函数分子分母同乘以∨(1＋θ²) 得到)
=a∫(0，2π) dθ/∨(1＋θ²) ＋a∫(0，2π) θ²/∨(1＋θ²) dθ
=a ln(θ＋∨(1＋θ²))|(0，2π) ＋a∫(0，2π) θ²/∨(1＋θ²)dθ ②
=aθ∨(1＋θ²)|(0，2π) －a∫(0，2π) θ²/∨(1＋θ²)dθ (此步由①式分部积分得到) ③
由②和③式可得a∫(0，2π) θ²/∨(1＋θ²)dθ=[a/2 θ∨(1＋θ²)－a/2 ln(θ＋∨(1＋θ²)) ]|(0，2π) ④
④代入②或③得
a∫(0，2π) (1＋θ²)/∨(1＋θ²)dθ
=a/2 [θ∨(1＋θ²)＋ln(θ＋∨(1＋θ²)) ]|(0，2π)
=a/2 [2π∨(1＋4π²)]＋ln(2π＋∨(1＋4π²))]
