兔子数列的通项公式以及如何证明?
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发布时间：2022-05-25 06:13
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时间：2024-10-26 09:28
递归公式：
a1=1;
a2=1;
a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n>=3)
通项公式：
a(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
证明过程：（方法：数学归纳）
1.当n=1时，a1=1,例题成立；
2.设当n=k时，命题成立，即：
a(k)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^k - [(1-√5)/2]^k}那么，当n=k+1时，有：
a(k+1)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^k - [(1-√5)/2]^k}+(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(k-1) - [(1-√5)/2]^(k-1)}
为了写法方便，令c=(1/√5),A=(1+√5)/2,B=(1-√5)/2，于是上式为：
a(k+1)=c(A^k+A^(k-1)-B^k-B^(k-1))=c(A^(k-1)(1+A)-B^(k-1)(1+B))
其中，1+A=A^2,1+B=B^2;
于是上式为：
a(k+1)=c(A^(k+1)-B(K+1))=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(k+1) - [(1-√5)/2]^(k+1)}
热心网友
时间：2024-10-26 09:28
一、递归公式：
a1=1;
a2=1;
a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n>=3)
二、通项公式：
a(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
三、证明过程：（方法：数学归纳）
1。当n=1时，a1=1,例题成立；
2。设当n=k时，命题成立，即：
a(k)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^k - [(1-√5)/2]^k}
那么，当n=k+1时，有：
a(k+1)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^k - [(1-√5)/2]^k}+
(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(k-1) - [(1-√5)/2]^(k-1)}
为了写法方便，令c=(1/√5),A=(1+√5)/2,B=(1-√5)/2，于是上式为：
a(k+1)=c(A^k+A^(k-1)-B^k-B^(k-1))
=c(A^(k-1)(1+A)-B^(k-1)(1+B))
其中，1+A=A^2,1+B=B^2;(计算一下就知道了。）
于是上式为：
a(k+1)=c(A^(k+1)-B(K+1))
=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(k+1) - [(1-√5)/2]^(k+1)}
证毕。我的妈呀，累死我了，呵呵。
