【线性代数】向量β能由向量α1,α2,α3线性表示,求表示式
发布网友
发布时间：2022-05-25 06:12
共2个回答
热心网友
时间：2024-07-18 19:45
设 (a1, a2, a3)x = b, 即 Ax = b，
若有非零解，即 b 可由 a1, a2, a3 线性表出。
增广矩阵 (A, b) =
[2 -1 2 0]
[2 2 1 1]
[3 1 -1 2]
[1 2 -2 3]
初等行变换为
[1 2 -2 3]
[0 -5 6 -6]
[0 -2 5 -5]
[0 -5 3 -4]
初等行变换为
[1 0 3 -2]
[0 -2 5 -5]
[0 -5 6 -6]
[0 0 -3 2]
初等行变换为
[1 0 3 -2]
[0 -2 5 -5]
[0 -10 12 -12]
[0 0 -3 2]
初等行变换为
[1 0 3 -2]
[0 -2 5 -5]
[0 0 -13 13]
[0 0 -3 2]
初等行变换为
[1 0 0 1]
[0 -2 0 0]
[0 0 1 -1]
[0 0 0 -1]
初等行变换为
[1 0 0 1]
[0 1 0 0]
[0 0 1 -1]
[0 0 0 1]
r(A, b) = 4, r(A) = 3, 方程组无解，
b 不能由 a1, a2, a3 线性表出。
线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。
线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。
扩展资料线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。
现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为 n 的向量空间叫做n 维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象n 维空间中的向量，这样的向量（即n 元组）用来表示数据非常有效。
由于作为 n 元组，向量是n 个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如（中国、美国、英国、法国、德国、西班牙、印度、澳大利亚）。
热心网友
时间：2024-07-18 19:42
非齐次线性方程组Ax=β的解的结构
ξ（非齐次线性方程组的特解）+k1α1+k2α2+...+ksαs（齐次线性方程组的基础解系）
【解答】
题目已经化好增广矩阵，
1 0 3 2
0 1 -2 -1
0 0 0 0
0 0 0 0
首先求非齐次线性方程组Ax=β的特解，为简捷，可令自由变量x3=0，得x2=-1，x1=2
即 ξ = （2，-1，0)T
再求齐次线性方程组Ax=0的基础解系，基础解系的解向量个数为 n -r(A) = 3-2 = 1
那么就是1个解向量，令x3=1，得x2=2，x1=-3
即 α=（-3，2，1)T
那么非齐次线性方程组Ax=β的解为 ξ + cα （c为任意常数）
也就是 （2，-1，0)T+c（-3，2，1)T= （-3c+2，2c-1，c）T
【评注】
一个向量是否能由一组向量线性表示，即转化为非齐次线性方程组Ax=β有无解的问题。
有解，就是能表示，无解，就不能表示。
一组向量是否线性无关，即转化为齐次线性方程组Ax=0有无非零解的问题。
有非零解，就是线性相关，只有零解，就是线性无关。
newmanhero 2015年2月12日20:37:20
希望对你有所帮助，望采纳。
