已知二次函数f(x)=ax²+bx+c
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发布时间：2022-05-26 03:01
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时间：2024-11-19 10:47
因为
f（1）=0,
即
a+b+c=0,,
所以
f(x)=ax²+bx+c
=ax²-a+bx-b+a+b+c
=a(x²-1)+b(x-1)
=(x-1)(ax+a+b)
令
f（x）=0,得
(x-1)(ax+a+b)=0，所以x1=1,
x2=-(a+b)/c
因为
a>b>c,
所以a+b>2c,
x2=-(a+b)/c<-2
所以
f(x)必有两个零点：
x1=1,
x2=-(a+b)/c<-2,
x1,x2显然是两个不相等的零点
（2）
因为 x1，x2∈R，x1＜x2，且f(x1)≠f(x2)，假设
f(x1)<f(x2),
则
f(x)=[f(x1）+f(x2)]/2<[f(x2）+f(x2)]/2，
即
f(x)<f(x2),
同样可证
f(x)>f(x1)
即
f(x1)<[f(x1)+f(x2)]/2<f(x2)
而
f(x)=ax²+bx+c,显然是
[x1，x2]上的连续函数，由连续函数的中值定理可知，必有一个点x*
属于
（x1，x2）,使得
f(x*)=[f(x1)+f(x2)]/2,
所以
x*
就是方程 f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]
的一个根
但这个方程显然是一个二次方程，他至多只有两个不同的实数根，所以
x*必是已知的方程
f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]两个不等实根之一，这就证明了方程f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]两个不等实根之
一就是
x*,而它是属于区间
（x1，x2）
