抛物线问题啊啊啊啊
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发布时间：2022-05-27 16:09
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热心网友
时间：2022-06-22 20:03
由抛物线性质可知F的坐标为（p/2,0），代入直线方程可解得
b=-kp/2
所以直线方程为y=kx-kp/2.
将y=kx-kp/2代入原方程，整理得
k^2x^2-(k^2-2)px+k^2p^2/4=0
M,N两点的x坐标即为上述方程的解x1,x2。
根据韦达定理，
x1+x2=(k^2-2)/k^2......................(1)
x1*x2=p^2/4............................(2)
由抛物线的几何性质，抛物线上任一点与焦点和准线的距离相等。
因准线方程为x=-p/2
所以
x1+p/2=|FM|
x2+p/2=|FN|
所以
1/|FM|+1/|FN|=1/(x1+p/2)+1/(x2+p/2)
=(x1+x2+p)/(x1x2+p(x1+x2)/2+p^2/4)......(3)
将(1)(2)代入(3)，整理得
1/|FM|+1/|FN|=2/p
命题得证。
