求教线性代数高手,矩阵乘法为什么那么奇怪?以及所谓的线性映射是什么几何意义?我几何很好,不懂代数!
发布网友
发布时间:2022-05-12 03:04
我来回答
共2个回答
热心网友
时间:2023-11-05 11:56
因为矩阵的乘法就是这么定义的呀,A与B的乘积C中的任一元素cij等于A的第i行与B的第j列的对应元素的乘积之和,这就要求A的每一行所含的元素个数与B的每一列所含的元素个数相等,即A的列数等于B的行数,否则根本没法乘。
由于在取定一组基后,n阶方阵与线性变换之间可以建立一一对应的关系,所以可以用线性变换的乘积(即复合)来理解矩阵的乘积,(我只是说大致可以这么做,矩阵乘法为什么这么定义恐怕要到历史中去找寻缘由,对于那些不是方阵的矩阵之间的乘法,我也*为力)由于线性变换的乘积不能随便交换次序,所以矩阵的也不行。
由于线性变换有逆,所以矩阵也有逆。(就姑且这么理解吧)
线性变换就是保持向量之间线性关系的映射,式子Akα=kAα表示,kα的像就是α的像与k的乘积,这与kα就是α与k的乘积形成对应关系,而式子A(α+β)=Aα+Aβ表示,α+β的像就是α的像与β的像的和,这也说明,α+β就是α与β的和的这种线性关系得到了保持。如下所示:
η =k • ζ ψ = δ + ε
↑ A ↑A ↑A ↑A ↑A
γ =k • α λ = α + β
我还是建议你用线性变换来理解矩阵的性质。用几何来解释矩阵的性质恐怕有困难,高等数学的特征之一就是抽象性,所以为了理解那些古怪的定义和性质,你只能去学习那些更抽象的东西,然后你才能理解个中缘由,然后为了理解新的古怪定义,只能去学加倍高深的知识,所以,唉,你就会被卷入到一条学术的不归路上。人生的悲剧就这样形成了。
不过单就理解线性代数来说,我建议你看一看清华大学出版社的《线性空间引论》(陈恭亮,叶明训,郑延履著)。不同于国内的大多数线性代数教材,它是以线性空间和线性代数为主线编的,感觉看完以后对线性代数的许多困惑得到了解释,不过这本书一开始理解起来当然还是很费劲的,但是总比学完以矩阵为主线编的令人一头雾水的教材后留下的感觉好多了。追问哎、我一点不悲剧,你的回答“由于线性变换有逆,所以矩阵也有逆。(就姑且这么理解吧)”只有这句话说得很好。剩下的你用更抽象的东西复杂化我的问题、毫无意义阿。
最后感谢你的回答,费心了。不要推荐什么书,书是死的,人是活的。我需要的是人的提点不是而不是一本书的广告!
热心网友
时间:2023-11-05 11:56
我之前也和楼主一样有很多的疑惑,最近看了相关书籍自己思考很久,很多困惑解开了,毕竟我们的教学很没劲,线性代数的很多本质都没给我们解释,大家只是学会了解题,让我很不爽。
我用比较直观形象的语言来解释一下吧,可能语言不太精确,望谅解
1.这个矩阵乘法就是这么定义的,所以左乘与右乘不一样。矩阵可以理解为线性变换的描述,如A*a=b(A为矩阵,a和b是向量),即a向量做了一个线性变换变为b,A这个矩阵就是来描述这个变换的,或者说a映射到b,那么A就是来描述这个映射的(当然不能将映射和变换等同,这里我只是大概的点到下意思)。
那么A*B=C,两个矩阵相乘什么意思?你可以把B看出列向量组,那么就相当于对这个列向量组里的每一个列向量做了同样的线性变换(用矩阵A来描述),最后得到的新的矩阵C由新的列向量组成,每个列向量都是经由相同的线性变换得来的。当然还可以理解为两次线性变换的叠加效果,比如说A*B*b=c,就是说b向量先做A这种线性变换再做B这种线性变换最后变为c向量,那么如果用结合律,(A*B)*b=c,即C*b=c,也就是说做两次线性变换的效果等同于做一次C这种线性变换。所以说矩阵是一个用来描述线性变换的向量组(语言肯定不如数学语言描述的精确,但是大概就是这意思了,相信这样讲楼主也更能明白些)
2.可逆是什么玩意?
前面说了矩阵就是一种线性变换的描述,那么你把一个向量线性变换成另外一个向量,然后你要再把它变回来,肯定要另外一种线性变换吧,对于那个将向量变回来的线性变换的描述就是矩阵A的逆喽。那么A矩阵可逆就是说A所对应的线性变换很好,可以找到一种线性变换将被改变的向量变回来了,不可逆就是找不到变回来的途径喽!
这么解释楼主应该明白了吧。至于矩阵是几何体?这种说法至少在这里没有体现,也不存在几何体可逆的说法。当然不同的时候矩阵有不同含义,既然矩阵是一个向量组,那么这些向量展开当然可以构成几何体(不对。。展开成的是空间。。扯远了)其实这丫就是一个数表嘛。
希望以上的回答对楼主有帮助,我也在学习线代中,望共同进步!追问追问这里打字多一些!之前晚上我自己悟出来了、和你的一模一样!几何体是在超空间内的应该。一句话英雄所见略同!很高兴认识你!
我是在考研,现在才第一次认真学线代,以前上课时候也很让我不爽,知其然不知其所以然根本一下就忘记了。呵呵。实质我总结了:矩阵确实是数表,代表的意思则是一种变换。把向量或者向量组左乘这种变换,就是把几何体旋转平移或拉伸。不过至今不懂左乘,我就当做平时写习惯写ax表示a倍化x而不写xa.
求教线性代数高手,矩阵乘法为什么那么奇怪?以及所谓的线性映射是什么几...
由于在取定一组基后,n阶方阵与线性变换之间可以建立一一对应的关系,所以可以用线性变换的乘积(即复合)来理解矩阵的乘积,(我只是说大致可以这么做,矩阵乘法为什么这么定义恐怕要到历史中去找寻缘由,对于那些不是方阵的矩阵之间的乘法,我也无能为力)由于线性变换的乘积不能随便交换次序,所以矩阵的...
什么是波分复用(WDM)技术?
波分复用(WDM)技术是一种在光纤通信中广泛应用的技术,它允许在同一根光纤中同时传输多个不同波长的光信号。这些光信号在发送端通过复用器合并,然后在光纤中传输,最后在接收端通过解复用器分离并恢复成原始信号。WDM技术极大地提高了光纤的传输容量,是现代光通信网络扩容的重要手段。通过这项技术,光纤通信系统能够支持更高的数据传输速率和更多的信道,满足日益增长的通信需求。波分复用(WDM)技术是一种在同一光纤中并行传输多个波长的光信号的技术,可以显著提高光纤网络的传输容量和效率。光派通信在波分传输设备领域拥有丰富的产品线和行业经验,能够为客户提供高质量的DWDM、CWDM等波分设备产品和解决方案,满足不同...
线性变换T(x)=Ax,矩阵A左乘向量,那为何在基变换中,往往是T(e1。。en...
然而如果采用前一种写法那么v=[v_1;v_2;...;v_m](我用分号表示换行)是一个(n^2)x1的列向量,这个很长的列向量丢失了V的结构,为了仍然让Av有意义就得不能把A表示成mxn的矩阵,这给使用矩阵乘法带来了困难 从这个比较就可以看出Tu=vA的形式中不论u和v是有抽象向量构成的形式向量,还是由...
线性代数中,线性映射是什么意思?
代数空间被映射到零元素的全体元素的集合叫做核,记为ker;集合A上被映射后的全体元素集叫做映射的象集,记为ImA。假设存在线性映射f:W——>V ,W空间映射到V空间。Im f 相当于f的值域,也就是对任意的w属于W,f(w)在V里的势力范围;数学语言Imf=f(W)。Ker f 相当于f的零空间,也就是V...
哪位高手知道矩阵到底有什么意义
意义:数值分析的主要分支致力于开发矩阵计算的有效算法,这是一个几个世纪以来的课题,是一个不断扩大的研究领域。矩阵分解方法简化了理论和实际的计算。针对特定矩阵结构(如稀疏矩阵和近角矩阵)定制的算法在有限元方法和其他计算中加快了计算。 无限矩阵发生在行星理论和原子理论中。 无限矩阵的一个简单...
线性代数(1) 矩阵概念简述
矩阵的加法和数乘遵循线性原则,使得矩阵本质上是线性映射,当映射自身时,称为线性变换。矩阵的乘法则视为连续的线性映射复合,即先做映射B,再做映射A。矩阵不总是满足交换律,故矩阵不具有完全的可交换性。矩阵的运算包括加法、数乘和乘法,这些操作要求元素取自数域,数域通常指的是复数集的子集,...
线性代数的学习难点有哪些?
符号表示:线性代数中使用了大量的符号,如矩阵、向量、行列式等。对于初学者,理解并熟练使用这些符号可能会有些困难。矩阵运算:矩阵的加法、乘法、转置、逆等运算与普通的算术运算有很大的不同,需要特别的注意。行列式的理解:行列式的定义、性质和应用都是线性代数中的重点内容。理解行列式的几何意义和...
线性代数,这种线性映射应该怎么做呀?
第二题我没看懂日语他叫求啥,是叫你把俩系数矩阵乘起来(这也太送分了吧,应该不是这个意思)?第四题是叫你求,左边乘哪个矩阵可以得到右边的矩阵,你直接用一题的思路,或者把后边的那个矩阵的逆矩阵求出来然后乘过去就OK啦。比如第一个问答案是(1,-1,0;-2,1,0)这个熟练了心算是基本...
线性映射的定义
线性映射是从一个向量空间V到另一个向量空间W的映射且保持加法运算和数量乘法运算。线性映射总是把线性子空间变为线性子空间,但是维数可能降低。而线性变换(lineartransformation)是线性空间V到其自身的线性映射。当V及W被确定后,线性映射可以用矩阵来表达。同构是一对一的一张线性映射。如果在V和W...
学习线性代数的实际意义?
线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用,因而它在各种代数分支中占居首要地位。在计算机广泛应用的今天,计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系,从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的...
线性代数到底是研究什么的?
线性代数本身是研究线性空间及映射结构的,如果从解决问题的角度讲,线性代数是一种速记语言,用于描述一些其它问题,所以可以让某些问题解决起来更容易。- 所有的老师在讲矩阵的定义时都是讲它们是排在一起的一个表 即使你没有碰到好的老师,也不要随意推断其他老师的讲解方式。- 它到底是干吗用的?...