设a,b,c属于R+,求证根号(a^2+b^2)+根号(b^2+c^2)+根号(c^2+a^2)>

根号(a^2+b^2)+根号(b^2+c^2)+根号(c^2+a^2)≥√[(a+b)^2/2]+√[(b+c)^2/2]+√[(c+a)^2/2]=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]/√2 =2(a+b+c)/√2 =√2*(a+b+c)

首先基本不等式中有 平方平均值≥算术平均值 即a,b>0时有 √[(a^2+b^2)/2]≥(a+b)/2 当且仅当a=b时不等式取等号 (也就是Cauchy不等式的特例)回到原题上 (1)当a,b,c其中有一个或一个以上的非正时,容易证明不等式成立 (不妨设a≥b≥c,再分情况简单讨论一下即可 (2)当a,b,...

所以 2*(a^2+b^2) >=（a＋b）^2 因为 a>0,b>0 所以将上式两边同开方得：（根号2)*根号(a^2+b^2) >=a＋b 即 根号(a^2+b^2) >=a/（根号2）＋b/（根号2）同理 根号(b^2+c^2) >=b/（根号2）＋c/（根号2）同理 根号(c^2+a^2) >=c/（根号2）＋a/（根号2）...

把原式平方展开>=a^2+b^2+b^2+c^2+a^2+c^2+4ab+4bc+4ac=2(a+b+c)^2 因为都是正实数，所以开方也没关系 于是给论得证

回答：很简单,最直接方法,直接平方

所以 2*(a^2+b^2) >=（a＋b）^2 因为 a>0,b>0 所以将上式两边同开方得：（根号2)*根号(a^2+b^2) >=a＋b 即 根号(a^2+b^2) >=a/（根号2）＋b/（根号2）同理 根号(b^2+c^2) >=b/（根号2）＋c/（根号2）同理 根号(c^2+a^2) >=c/（根号2）＋a/（根...

本题利用：（a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2 (1^2+1^2)(a^2+b^2)≥(a+b)^2 两边开方得：√2* √(a^2+b^2) ≥(a+b)同理：√2* √(b^2+c^2)≥(b+c)√2*√(c^2+a^2)≥(c+a)三式相加得：√2[√(a^2+b^2)+ √(b^2+c^2)+√(c^2+a^2)]≥2...

是三角形不等式吧？设 A(a,b),B(c,d) 则 |OA|+|OB|>=|AB| 即 根号（a^2+b^2）+ 根号（c^2+d^2）>=根号（（a-c)^2+(b-d)^2)

√(2c^2+2b^2)>=c+b 相加得 √(2a^2+2b^2)+√(2a^2+2c^2)+√(2c^2+2b^2)>=a+b+a+c+c+b=2(a+b+c)√2[√(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2)]>=2(a+b+c)所以√(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2)>=（√2）(a+b+c)...

综合法：因为a^2+b^2≥2ab, 两边同时加上a^2+b^2,得 2(a^2+b^2)≥(a+b)^2,所以 a^2+b^2≥(1/2)(a+b)^2,两边开平方，得√(a^2+b^2)≥(√2/2)|a+b|≥(√2/2)(a+b)分析法 ：当a+b≤0，原式显然成立；当a+b>0时，要证√(a^2+b^2)≥(√2/2)(a+b...