二次曲面的简便化简方法
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发布时间：2022-05-12 01:12
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时间：2023-11-01 03:56
接下去用 \alpha=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) 来表示点的坐标。我们知道对一个图形，平移、旋转、对称变换（我们称为反射），都是不会改变形状的。平移变换可以用 \alpha+\alpha_0 来表示，因为它将每个点 \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) 变为了 \left( \begin{array}{c} x +x_0\\ y+y_0 \\ z +z_0\\ \end{array} \right) .旋转、反射都对是正交变换，而一个正交变换能分解为旋转、反射的复合，正交变换用Uα表示，其中U是正交矩阵。为了将二次曲面分类，我们应当利用正交变换、平移变换将一般的二次曲面方程进行化简。
由于 a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+2b_{1}x+2b_{2}y+2b_{3}z+c= \left ( \begin {array} {cccc} x & y & z & 1 \\\end {array} \right)\left ( \begin {array} {cccc} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & b_ {1} \\ a_ {12} & a_ {22} & a_ {23} & b_ {2} \\ a_ {13} & a_ {23} & a_ {33} & b_ {3} \\ b_ {1} & b_ {2} & b_ {3} & c \\\end {array} \right)\left ( \begin {array} {c} x \\ y \\ z \\ 1 \\\end {array} \right) ,记 A=\left ( \begin {array} {ccc} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {12} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {13} & a_ {23} & a_ {33} \\\end {array} \right) ,\varepsilon=\left ( \begin {array} {c} b_{1} \\ b_{2} \\b_{3} \\\end {array} \right),则三元二次方程可以记为 \left( \begin{array}{cc} \alpha^T & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} A & \varepsilon \\ \varepsilon^T & c \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \alpha \\ 1 \\ \end{array} \right)=0 ,
\Rightarrow\alpha^TA\alpha+\varepsilon^T\alpha+\alpha^T\varepsilon+c=0 ,注意到 \varepsilon^T\alpha=\alpha^T\varepsilon ，于是进一步将方程化简为 \Rightarrow\alpha^TA\alpha+2\varepsilon^T\alpha+c=0 .我们将 \left( \begin{array}{cc} A & \varepsilon \\ \varepsilon^T & c \\ \end{array} \right) 称作二次曲面的表示矩阵（同理，n阶对称矩阵可以是n-1元二次方程的表示矩阵，表示形式是一致的）。
由于A是对称矩阵，所以A可以正交相似到对角型，即存在正交阵U和对角阵 \Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) ,满足：\Lambda=U^TAU 。先做正交变换 \beta_1=U^T\alpha ,即 \alpha=U\beta_{1} ，代入方程得 (U\beta_{1})^TA(U\beta_{1})+2\varepsilon^T(U\beta_1)+c=0 \Rightarrow\beta_1^TU^TAU\beta_1+2\varepsilon^TU\beta_1+c=0 \Rightarrow\beta_1^T\Lambda\beta_1+2\varepsilon^TU\beta_1+c=0 .记 \varepsilon^TU=(\mu_1\ \mu_2\ \mu_3) ，则方程可写为 \lambda_1x'^2+\lambda_2y'^2+\lambda_3z'^2+2\mu_1x'+2\mu_2y'+2\mu_3z'+c=0 .其中x',y',z'为 \beta_1 的三个分量。可以看到交叉项已经被约去了。
对于方程\lambda_1x'^2+\lambda_2y'^2+\lambda_3z'^2+2\mu_1x'+2\mu_2y'+2\mu_3z'+c=0 ，若 \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3全不为0，则可配方为： \lambda_1(x'+\mu_1/\lambda_1)^2+\lambda_2(y'+\mu_2/\lambda_2)^2+\lambda_3(z'+\mu_3/\lambda_3)^2+c'=0 ,其中c'表示配方后的常数项，下文同。只需做平移变换： \beta=\beta_1+\left ( \begin {array} {c} \mu_1/\lambda_1 \\ \mu_2/\lambda_2 \\\mu_3/\lambda_3\\\end {array} \right) ,方程变为 \lambda_1u^2+\lambda_2v^2+\lambda_3w^2+c'=0 ，其中u，v，w是 \beta 的三个分量，下文同。若 \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3有一个为0，不妨设 \lambda_3为0，则同样配方可得： \lambda_1(x'+\mu_1/\lambda_1)^2+\lambda_2(y'+\mu_2/\lambda_2)^2+2\mu_3z'+c'=0 。做平移变换 \beta=\beta_1+\left ( \begin {array} {c} \mu_1/\lambda_1 \\ \mu_2/\lambda_2 \\0\\\end {array} \right) ，方程变为 \lambda_1u^2+\lambda_2v^2+2\mu_3w+c'=0 .若 \mu_3 =0,则方程为 \lambda_1u^2+\lambda_2v^2+c'=0 ，否则可以再进一步对w做平移可消除常数项，这里不再具体写出变换过程，最后得： \lambda_1u^2+\lambda_2v^2+2\mu_3w=0 .若 \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3有两个为0，不妨设 \lambda_2,\lambda_3为0,同样可先对x'配方得： \lambda_1(x'+\mu_1/\lambda_1)^2+2\mu_2y'+2\mu_3z'+c'=0 ，先做平移变换 \beta_2=\beta_1+\left ( \begin {array} {c} \mu_1/\lambda_1 \\ 0\\0\\\end {array} \right) ,得方程： \lambda_1x''^2+2\mu_2y''+2\mu_3z''+c'=0 ,其中x'',y'',z''是 \beta_2 的三个分量。若 \mu_2,\mu_3 全为0，则直接令 \beta=\beta_2 ,方程为： \lambda_1u^2+c'=0 。若 \mu_2,\mu_3 不全为0，做正交变换 \beta=\left ( \begin {array} {ccc}1 & 0 & 0 \\0& \frac{1}{\sqrt{\mu_2^2+\mu_3^2}}\mu_2 & \frac{1}{\sqrt{\mu_2^2+\mu_3^2}}\mu_3 \\ 0 & \nu_1 & \nu_2 \\\end {array} \right)\beta_2 ,其中 (\nu_1,\nu_2) 是与 (\mu_2,\mu_3)正交的单位向量，这保证了上述变换为正交变换。于是方程变为 \lambda_1u^2+2\sqrt{\mu_2^2+\mu_3^2}v+c'=0 .再进一步对v做平移可以消去常数项，这里不再写出变换过程，最后得： \lambda_1u^2+2\sqrt{\mu_2^2+\mu_3^2}v=0 .
综上所述，我们发现一般二次曲面在经过正交变换和平移变换后都会变成以下曲面之一：
au^2+bv^2+cw^2=d ；au^2=d； au^2+bv^2=d ；au^2+bv^2=cw；au^2=bv.上述所有方程除了d所有系数都不为0.
进一步对上述方程系数的正负性进行讨论，便可将二次曲线分类。
au^2+bv^2+cw^2=d，a，b，c，d全大于0，为椭球面。
au^2+bv^2+cw^2=d ，a，b，c有1个小于0，其余大于0，且d大于0，为单叶双曲面，或者a，b，c有1个大于0，其余小于0，且d小于0，为单叶双曲面。
au^2+bv^2+cw^2=d ，a，b，c，d其中两个为正，两个为负，为双叶双曲面。
au^2+bv^2+cw^2=d ，d为0，a，b同号且与c异号，即： au^2+bv^2=cw^2 ，a，b，c同号，为椭圆锥面。
au^2+bv^2=d ，a，b，d同号，为椭圆柱面。
au^2+bv^2=d ，a，b异号，d不为0，为双曲柱面。
au^2+bv^2=cw ，a，b，c同号，为椭圆抛物面。
au^2+bv^2=cw ，a，b异号，c不为0，为双曲抛物面。
au^2=bv ，a，b不为0，为抛物柱面。
au^2+bv^2+cw^2=0 ，a，b，c同号，为一点。
au^2+bv^2=0 ，a，b同号，即为直线 \frac{u}{1}=\frac{v}{1}=\frac{w}{0} .
au^2+bv^2=0 ，a，b异号，则可用平方差公式将其分解为两个平面方程的乘积，故代表两个相交平面。
au^2=d ，a，d同号，为两张平行平面。
au^2=0 ，a不为0，为两张重合平面（也可以说是一张平面）。
au^2+bv^2+cw^2=d ，a，b，c同号且与d异号，则无实解，称为虚椭球面。
au^2+bv^2=d ，a，b同号且与d异号，则无实解，称为虚椭圆柱面。
au^2=d ，a，d异号，则无实解，称为两张虚的平行面。
题主所说的9种实际上是上述的1-9，是非退化的二次曲面，而10-14是退化的二次曲面，实际上是点、直线或是两张平面（将14视为两张重合平面就是为了统一），15-17是无实解的情况。
本文的方法适用于对任意维欧氏空间下的n元二次方程图象进行分类，大家可以尝试用一样的方法去讨论二次曲线的分类。事实上，本文给出了从一般三元二次方程变形到5类方程的方法，再通过对系数情况的判定可以确定二次曲面是17类中的哪一类，然而我们其实可以找到从原方程变到5类方程后的系数与原方程表示矩阵的关系，比如二次项的系数实际上就是A的特征值，所以引入表示矩阵的意义在于即便不把方程先变到5类方程也可以直接通过研究表示矩阵的特征来确定二次曲面属于17类中的哪一类。这个手段同样对任意元的二次方程适用，解析几何中学习的二次曲线通过不变量确定类别实际上就是这个道理。关于这一点，大家感兴趣的话，等我有空会另开文章讲述
