反比例函数上的4个点,能围成正方形吗?
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发布时间：2022-05-10 16:38
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时间：2023-10-16 14:55
反比例函数上的四个点，能不能围成一个正方形？我们首先需要了解反比例函数的图像与性质。反比例函数的图像是双曲线，当k＞0时，反比例函数过第一、三象限；当k＜0时，反比例函数过第二、四象限。并且，反比例函数的图像关于原点成中心对称性，关于直线y=x或y=-x成轴对称。由于反比例函数的定义域x≠0，那么反比例函数与y轴没有交点；反比例函数定义中k≠0，那么反比例函数与x轴也没有交点。即反比例函数的图像无限地接近x轴、y轴，与x轴、y轴没有交点。
了解清楚反比例的图像与性质后，我们再看问题，四个点围成的四边形为正方形，那么正方形有什么特点呢？要证明一个四边形为正方形，我们可以先证明其为平行四边形。
过点O任意地作直线AC与双曲线交于点A、点C，过点O任意地作直线BD与双曲线交于点B、点C，那么直线AC与直线BD是正比例函数，正比例函数也关于原点成中心对称。由对称性可知，点A与点C关于原点成中心对称，点B与点D关于原点成中心对称，那么OA=OC，OB=OD，由此我们可以证明四边形ABCD为平行四边形。
那么，怎么由平行四边形变成正方形呢？我们可以先证明平行四边形为菱形，再证明菱形的对角线相等或一个内角为直角从而得到正方形；或者先证明平行四边形为矩形，再加上邻边相等或者对角线互相垂直从而得到正方形。当满足OA=OB=OC=OD，即对角线互相平分且相等时，该四边形为矩形，但是可以发现该四边形的对角线不可能互相垂直。互相垂直的两条直线的比例系数K的乘积互为负倒数，而直线AC与直线BD都过第一、三象限，比例系数K都是正数，乘积不可能等于-1。
由此可知，反比例函数上任意四点围成的四边形，可以是平行四边形，也可以是矩形，但是不能为菱形，也不能为正方形。
