线性时不变系统的两个重要性质
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发布时间：2022-05-11 07:48
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时间：2023-10-09 01:16
1.褶积性质
设有一线性系统，对单位脉冲δ(t-t0)的响应为h(t，t1)，
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可以证明，如果h(t，t1)已知，则这个系统即被完全表征。这个系统对任意输入f(t)的响应为g(t)，响应g(t)可通过h(t，t1)求出。
根据式(2-6-5)，f(t)可表示成
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根据线性系统的性质得到:
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因此
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由于这个系统又是时不变的，即如果系统对单位脉冲δ(t)的响应为h(t):
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根据时不变性质，则有
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根据(2-8-1)式，显然
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代入式(2-8-3)得到，
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这就是著名的褶积公式。上式右端积分称为褶积积分。也可写成
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褶积满足
(1)交换律:
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(2)分配律:
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(3)结合律:
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从褶积公式可知，褶积积分中有两个变量，一个是积分变量τ，一个是时间变量t，对于不同时间t，其积分限是不同的。下面用一个例子来说明:
例有一线性时不变系统，其单位脉冲响应为h(t)=e-atu(t)，如图2-8-1(b)，求输入为图2-8-1(a)所示的方波
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时的输出g(t)
根据线性时不变系统的褶积性质(2-8-7)式:
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由上式可知:
(1)当t<0时，f(t)=0，所以上述积分等于零;
(2)当0<t<T时，f(t)=1，h(t-τ)=e-a(t-τ)于是
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(3)当t>T时，f(t)=0，所以上述积分限的最大值为T，于是
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图2-8-1 系统输入(a)及系统的单位脉冲响应(b)
系统的输出波形见图2-8-2。
2.本征函数
一个线性时不变系统，如果输入是复指数函数ejω0t，则输出也是复指数函数。
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其中ejω0t称为线性时不变系统的本征函数，而H(ω0)称为该系统的本征值。
图2-8-2 输出波形
证明:设
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根据系统的时不变性质
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根据系统的线性性质
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对比(2-8-10)式和(2-8-11)式的右边
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当t=0时，e(τ)=e(0)ejω0τ
因为时移τ是任意的，将τ改写成t，则
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式(2-8-9)得证。e(0)一般是复数，并取决于ω，可用H(ω0)表示:即e(0)=H(ω0)，代入(2-8-13)式
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于是式(2-8-8)得证。
