不用直尺,仅用圆规,如何四等分一个圆
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发布时间:2022-05-11 05:44
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时间:2024-02-09 23:10
趣味的圆规几何学
据说拿破仑对于只用圆规的几何作图问题极感兴趣,他曾给当时法国数 学家出过一道题目:“仅用圆规而不用直尺请把已知圆周四等分”。
拿破仑的这道题,如果给定圆的圆心是已知的,就不算难。下图表明了 一种作法:
在已知圆 O(r)上任取一点 A。然后,从 A 点开始,用圆规量半径的方 法,依次在圆用上作出 B、C、D 三点。再作圆 A(AC)交圆 D(DB)于 E 点。 最后,作圆 A(OE)交已知圆 O(r)于 P、Q 两点,则 A,P,D,Q 四点把圆
O 四等分。
从而 A、P、D、Q 确为圆 O 的四等分点。 如果拿破仑问题不给出圆心,那就难办多了!不过这是一定能够做到的! 公元 1797 年,意大利几何学家马施罗姆指出:任何一个能用直尺和圆规
作出的几何图形,都可以单独用圆规作出。也就是说:“直尺是多余的!” 学过平面几何的读者,可能都已了解,用直尺和圆规的一切作图,归根
到底都取决于:
(甲)求两圆交点;
(乙)求一直线与一个圆的交点;
(丙)求两直线交点。 以上三条,(甲)自然可用圆规完成,关键在(乙)、(丙)。为了弄
清这一点,我们先介绍几种可单独用圆规作出的基础作图:
【作图 1】试单独使用圆规,作点 X 关于直线 AB 的对称点 X'。 作法:见图自明。(左图)
【作图 2】在圆心 O 已知的情况下,试单独使用圆规,求圆 O 的弧 AB 的 中点 M。
作法:如图,不难单独使用圆规作 ABOC 及 ABDO。 令 OA=r,AB=m。则在 ABOC 中
∵CB2+OA2=2(AB2+OB2)
∴CB2+r2=2(m2+r2) CB2=2m2+r2
现作圆 C(CB)交圈 D(DA)于 E 点,则
∵OE2=CE2-OC2=CB2-OC2
∴OE2=2m2+r2-m2=m2+r2
再作圆 C(OE)交圆 D(OE)于 F 点
∵OF2=CF2-OC2=OE2-OC2
∴OF2=m2+r2-m2=r2
从而,F 为圆 O 上的点。又根据图形的对称性知,F 即为 AB 的中点。
【作图 3】试单独使用圆规,求线段 a,b,c 的第四比例项 x。 作法:我们试作其中最为普遍的一种情况,其余留给读者。
取定一点 O 作圆 O(a)、圆 O(b)。在圆 O(a)上任取一点 M,并求得
另一点 N,使弦 MN=c。任选一半径 r,作圆 M(r)和 N(r)分别交圆 O(b)
于 P、Q 点,并使 OP 与 OQ 中恰有一条位于<MON 内部。易知
△OMN∽△OPQ
从而 OM∶OP=MN∶PQ 即 a∶b=c∶x
也就是说,弦 PQ 即为所求的第四比例项 x。
由此可见,单用圆规求一直线与圆的交点,现在已经没有太大困难了。 如上图,利用基础作图 1,作已知圆 O(r)的圆心 O 关于直线 AB 的对称
点 O'。则圆 O(r)与圆 O'(r)的交点 P、Q 即为所求的直线 AB 与已知圆 O(r)的交点。
不过,有一种情况似乎例外,即直线 AB 恰过 O 点,此时基础作图 1 失去 了效用。然而我们可以如同左图再利用基础作图 2,求出 MN 的中点 P(和 Q)。 不难明白,P、Q 即圆 O 与直线 AB 的交点。也就是说,我们已经解决了关键 作图(乙)。
再看看关键作图(丙),即如何单用圆规求两直线的交点。实际上,我 们可以把它归结为基础作图 3。
如图,我们先按基础作图 1 作 C、D 关于直线 AB 的对称点 C'、D';然
后,再确定点 E,使 CC'D'E 为平行四边形,这是单独用圆规能够做到的。 很明显,D、D'、E 三点共线。
令 CD 与 AB 的交点为 F。我们现在的目的,显然就是需要求出 F 点。
∵ D'F∥EC∴ DE∶DD'=DD'∶DF
即 DF=X 为 DE、DD'、DC 的第四比例项,因而也能单独使用圆规作出。 接下去的任务是求圆 D(x)和圆 D'(x)的交点 F,这已经是很容易的事了。 至此,我们已经令人信服地证明了马施罗姆关于“直尺是多余的”结论! 最后值得一提的是:大约在公元 1928 年左右,丹麦数学家海姆斯列夫的 一个学生,在哥本哈根的一个旧书摊上,偶然发现一本旧书的复制品《欧几 里得作图》。该书出版于公元 1672 年,作者是一位名不见经传的人物 G·莫 尔。这本书不仅包含了马施罗姆的结果,而且还给出了一种不同的证明,这
一事实表明:圆规几何学的历史至少应当向前推移 125 年!
巧用直尺作图
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时间:2024-02-09 23:10
取已知圆O上任一点A,以A为一个分点把⊙O六等分,分点依次为A、B、C、D、E、F。分别以A、D为圆心,AC、BD为半径作圆交于G,以A为圆心,OG为半径作圆,交⊙O于M、N,则A、M、D、N即四等分⊙O的圆周。其中的把⊙O六等分,是取AB=AO(因为是等边三角形),以此类推,可得到六等分点可参考图片 http://bbs.cn.yimg.com/user_img/200704/25/aa017132971177474213_1407042501606.jpg
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时间:2024-02-09 23:11
(1)在圆周上任选一点A,以A为圆心,作任意小圆与已知圆交于B、C两点.
(2)以B为圆心,调整圆规半径,在已知圆上画条弧线,该弧线与A点分别位于已知圆不同侧,
(3)不要调整圆规,再以C为圆心,同样做条弧线,与上述弧线应有交叉点
(4)根据交叉点的位置,调整圆规半径,反复重复(2)(3)步骤,直到两条弧线交点位于已知圆上,此交点就是圆的二等分点D
(5)分别以A、D为圆心做任意半径弧线,根据两条弧线交叉点的位置,调整圆规半径,反复重复,直到两条弧线交点位于已知圆上,此交点就是圆的四等分点E
(6)重复(5),但另弧线交点位于圆的另一侧,与E相对,找到位于已知圆上的弧线交点F
(7)A、D、E、F即为四个等分点
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时间:2024-02-09 23:11
先用圆规画一个圆,在圆上任意取一个点,以原半径为半径画弧,交圆与两点,再以其中一个点,以原半径为半径画弧,又交圆与两点(其中一个点与最初的一点重合),用另一点画弧,再交一点即把圆三等分。
这样把圆的周长六等分,再取其中的三等分点。
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时间:2024-02-09 23:12
作法:取已知圆O上任一点A,以A为一个分点把⊙O六等分,分点依次为A、B、C、D、E、F(如图)。分别以A、D为圆心,AC、BD为半径作圆交于G,以A为圆心,OG为半径作圆,交⊙O于M、N,则A、M、D、N即四等分⊙O的圆周。
(图没法发上来,按照这样的说明应当是能够自己画出来的)
不用直尺,仅用圆规,如何四等分一个圆
先用圆规画一个圆,在圆上任意取一个点,以原半径为半径画弧,交圆与两点,再以其中一个点,以原半径为半径画弧,又交圆与两点(其中一个点与最初的一点重合),用另一点画弧,再交一点即把圆三等分。这样把圆的周长六等分,再取其中的三等分点。
只用圆规把圆四等分,不能用直尺
1、在圆上找出任意两点,连接。2、作这条线段的垂直平分线(弦的垂直平分线经过圆心),和圆有两个交点,连接,这就是圆的直径。3、再作这条直径的垂直平分线,和圆有两个交点,则把圆平分四等份。
用圆规怎样将一个圆分成四等份,不能借用直尺
用圆规画一个圆,再将圆以圆心所在的线对折再对折,打开就可看出已将圆4等分了。
怎样用圆规(不能用直尺)将圆4等分
1. 用圆规以圆的半径R在圆周上任意一点A开始作画,可把圆周分成6等份,其交点分别为ABCDEF;2.分别以A、D为圆心用AC(=DB)为半径作画,其交点为P。再以A为圆心用OP为半径作画,使其在圆周上 的交点为H;(可知,H点为等分点)因为:AC=DB=3R,AP=DP=3R,则OP=2R 所以:AH=2R,H点...
不用直尺,只用圆规把圆分成四等分
任意找条直径,以它的2个半径为直径做圆,得到4块面积相等的4块
用圆规怎样将一个圆分成四等份,不能借用直尺
直尺总该有的吧。一、先随便作一条直线交圆于a,b两点二、然后作直线ab的垂直平分线,作法如下:分别以a,b点为圆心在ab直线的上下方,作以适当长度为半径的弧线,如图可以得到两个交点。作过这两个交点的直线,可以得到直线cd,线段cd就是圆的直径,三、然后用同样的方法作直线cd的垂直平分线,...
只用圆规把一个圆的四等分点找出来
解析:用圆规四等分圆的方法:(有圆心,无直尺)1.可以先找到圆六等分点,这很容易(相信大家会)2.其中的两个是直径的两个端点A,B,3.分别以这两个点为圆心,半径是三等分弦长,作两个圆,他们交于C,D(1中六个点的两个之间的弦)4.则通过简单的计算可以知道,DO就是四等分的弦长 ...
把一个圆平均分成四份,只能用圆规作图,不可以用直尺,怎样画?老师说是初...
(易知:线段BD为直径,∠A=90°,AD=√(BD^2-AB^2)=√3R)3)分别以B、D为圆心,以AD(√3R)的长为半径作弧,两弧交于点E;(由作法可知:BE=DE;BO=DO,故EO⊥BD,EO=√(BE^2-BO^2)=√2R.)4)在圆O上依次以EO(√2R)的长为半径作弧,即可四等分圆O....
如何只用圆规把一个圆四等分(拒说是拿破轮发现的)
用圆规长短不变画
一道拿破仑提出的数学问题 只用圆规,将一个圆的圆周分为四等分
题目是:不准用直尺,只许使用圆规将一个定圆的圆周分成四等分.他的办法是:在圆周上任取一点A,从它出发以此圆之半径r顺次截取B、C、D三点,也就是AB=BC=CD=r那麼AD显然就是圆的直径,而且AC为圆内接正三角形的一边,所以AC=(√3)r然后,可分别以A和D为圆心,AC之长为半径,画两段圆弧,两...