ODE笔记:简单方程的求解

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本文为常微分方程课程笔记，主要阐述的是常系数线性齐次常微分方程的求解方法，包括级数法和特征根法。

首先，级数法是一种将解表示为级数形式的方法。通过代入原方程求解对应项系数，得到解的级数表达式。例如，对于方程的形式，设解为，代入方程得到数列满足的递推关系，进而得到解的级数表达式。需要说明的是，级数法的解未必总是线性无关的，还需通过朗斯基行列式进行判定。

其次，常系数线性齐次常微分方程的求解，以二阶情况为例进行讨论。设解的形式为，代入原方程化简为。问题转化为求解数列。利用线性代数的知识，令特征根分别为，解的结构为或。综合讨论，二阶常系数线性齐次ODE的解为，结论可推广至n阶情况。

对于线性非齐次方程的求解，常数变易法是一种有效的方法。通过将线性非齐次ODE转化为线性齐次ODE，降低求解难度。以一阶线性ODE系统为例，设解的形式，代入原方程并化简得到线性齐次ODE。求解该方程得到原方程的解。

常数变易法的原理有多种解释。方法1基于配凑，方法2则基于对Picard序列的研究。方法1中，令特定函数，化简方程求解。方法2中，构造Picard序列，利用代数知识表示解。

综上所述，本文详细介绍了常系数线性齐次常微分方程的解法，包括级数法和特征根法，以及线性非齐次方程的求解方法常数变易法，旨在为读者提供对常微分方程求解的深入理解。