特征值和正负惯性指数的关系是什么

发布网友 发布时间：2022-05-07 19:35

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热心网友 时间：2022-07-01 05:37

特征值和正负惯性指数的关系：一个对称阵的正特征值的个数就是正惯性指数，负特征值的个数就是负惯性指数。

正惯性指数，属于数学学科，简称正惯数，是线性代数里矩阵的正的特征值个数，也即是规范型里的系数"1"的个数。实二次型的标准形中，系数为正的平方项的个数为二次型的正惯性指数。

所谓负惯性指数，简称负惯数，是线性代数里矩阵的负的特征值个数，也即是规范型里的系数"-1"的个数。

扩展资料

求n阶矩阵A的特征值的基本方法：

根据定义可改写为关系式

 ，  为单位矩阵（其形式为主对角线元素为λ-  ，其余元素乘以-1）。

要求向量  具有非零解，即求齐次线性方程组  有非零解的值  。

即要求行列式 。 解次行列式获得的 值即为矩阵A的特征值。将此值回代入原式得相应的  ，即为输入这个行列式的特征向量。求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：计算的特征多项式；

第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组。

参考资料：百度百科-正惯性指数

参考资料：百度百科-特征值

热心网友 时间：2022-07-01 05:37

热心网友 时间：2022-07-01 05:38

“正特征”值即为“正惯性指数”，同理“负特征”值即为“负惯性指数”。

特征值简介：

特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维 列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或 本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为 矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。又称 本征值 ，英文名eigen value。“特征”一词译自德语的eigen，由 希尔伯特在1904年首先在这个意义下使用（ 赫尔曼·冯·亥姆霍兹在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念）。eigen一词可翻译为“自身的”，“特定于...的”，“有特征的”或者“个体的”—这强调了特征值对于定义特定的变换上是很重要的。

基本定义：

设 A为n阶矩阵，若存在 常数λ及n维 非零向量x，使得 Ax=λx，则称λ是矩阵 A的特征值，x是 A属于特征值λ的特征向量。 

A的所有特征值的全体，叫做A的谱，记为：

广义特征值：

如将特征值的取值扩展到 复数领域，则一个广义特征值有如下形式： A ν=λ B ν

其中 A和 B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程( A-λ B) ν=0，得到det( A-λ B)=0（其中det即行列式）构成形如 A-λ B的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。

若 B可逆，则原关系式可以写作：

，也即标准的特征值问题。当 B为非可逆矩阵（无法进行逆变换）时， 广义特征值问题应该以其原始表述来求解。

如果 A和 B是 实对称矩阵，则特征值为 实数。这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显，因为

A矩阵未必是对称的。 

求特征向量：

设 A为n阶 矩阵，根据关系式 Ax=λx，可写出(λ E- A)x=0，继而写出 特征多项式  |λ E- A|=0，可求出矩阵 A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λi E- A)x=0，所求 解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。

热心网友 时间：2022-07-01 05:38