已知f(x)是一次函数,且满足f(x^2+1)=f(x)^2+1,求f(x)
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发布时间：2024-10-22 09:27
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热心网友
时间：2024-11-22 13:43
因为f(x)为一次函数，所以设f(x)=ax+b,a,b为任意实数
因为f(x^2+1)=f(x)^2+1，所以a(x^2+1)+b=(ax+b)^2+1
即ax^2+a+b=(ax)^2+2abx+b^2+1
因为等式成立，待定系数法得a=a^2 & 2ab=0 & a+b=b^2+1
解得a=0或a=1
a=0时b=b^2+1，b不存在（舍）
a=1时b=0，即f(x)=x
热心网友
时间：2024-11-22 13:43
f(x²+1)=f(x)²+1
令x=1，得：f(2)=f(1)²+1
令x=-1，得：f(2)=f(-1)²+1
所以，f(1)²=f(-1)²，即：(k+b)²=(k-b)²，得：bk=0，所以：b=0
令x=0，得：f(1)=f(0)²+1，即：k+b=b²+1，把b=0代入该式，得：k=1
所以，f(x)=x
祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O
热心网友
时间：2024-11-22 13:44
∴f(x²+1)=k(x²+1)+b=kx²+k+b
f²(x)+1=(kx+b)²+1=kx²+2kx+b²+1
∴2kb=0
b²+1=k+b
∴k=1
b=0
∴f(x)=x
