求微分方程y”=y'+x的通解
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发布时间：2024-10-22 08:29
共4个回答
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时间：2024-11-08 19:06
简单计算一下即可，答案如图所示
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时间：2024-11-08 19:06
用一阶微分方程的公式
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时间：2024-11-08 19:07
则特解形式应设为 y = x(ax+b) = ax^2+bx
y' = 2ax+b, y'' = 2a, 2a-2ax-b = x, a = -1/2, b = 2a = -1
特解为 y = -(x/2)(x+2)
通解是 y = C1 + C2e^x - (x/2)(x+2)追问我还没学这种方法，能不能用常数变易法做?
追答参数变易法：设 y' = p, 则 p' = p+x, dp/dx - p = x
对于齐次方程 dp/dx = p ， dp/p = dx, lnp = x+lnC,
p = dy/dx = Ce^x.
用参数变易法，设非齐次方程的解为 p = C(x)e^x
则 p' = C'(x)e^x+C(x)e^x, 代入p' = p+x，
得 C'(x)e^x+C(x)e^x = C(x)e^x + x, C'(x) = xe^(-x),
C(x) = ∫xe^(-x)dx = -∫xde^(-x) = -xe^(-x)+∫e^(-x)dx = -(x+1)e^(-x)+C2
非齐次方程的解为 p = dy/dx = C(x)e^x = -(x+1)+ C2e^x
y = -(x^2/2+x)+C2e^x + C1 = C1+C2e^x-(x/2)(x+2)
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时间：2024-11-08 19:07
解：齐次方程 y''-y'=0的特征方程 r²-r=r(r-1)=0的根：r₁=0；r₂=1；
故齐次方程的通解为：y=C₁+C₂e^x；
设其特解为：y*=(ax+b)x=ax²+bx；
于是y*'=2ax+b；y*''=2a；代入原式得：
2a-(2ax+b)=-2ax+2a-b=x，故-2a=1，即a=-1/2； 2a-b=-1-b=0，∴b=-1；
∴特解为：y*=-(1/2)x²-x；
∴通解为：y=C₁+C₂e^x-(1/2)x²-x；
对追问的回答：用常数变易法求解微分方程y''-y'=x；
设y'=dy/dx=p；则y''=dy/dx=p'；代入原式得：p'-p=x.........①
先求齐次方程 p'-p=0的通解：p'=p; dp/dx=p; dp/p=dx；故得lnp=x+lnc；
即有p=ce^x；将c换成x的函数u，得p=y'=ue^x.........②；
dp/dx=y''=(/dx)e^x+ue^x.......③
将②③代入原式并化简得：(/dx)e^x=x；=xe^(-x)dx；
积分之得：u=∫xe^(-x)dx=-∫xd[e^(-x)]=-[xe^(-x)-∫e^(-x)dx]=-[xe^(-x)+∫e^(-x)d(-x)
=-[xe^(-x)+e^(-x)]+c₂=-(x+1)e^(-x)+c₂.........④；
将④式代入②式并化简得：y'=-(x+1)+c₂e^x;
∴原方程的通解：y=∫[-(x+1)+c₂e^x]dx=-∫xdx-∫dx+∫c₂e^xdx=-(1/2)x²-x+c₁+c₂e^x;
即通解为：y=c₁+c₂e^x-(1/2)x²-x ;
注：抱歉，前面对追问的回答有误，现更正如上。常数变易法也可用于二阶方程。
