插值法分段多项式插值
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发布时间：2024-10-22 09:38
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时间：2024-11-20 03:24
插值法中的分段多项式插值是一种重要的逼近技术，它旨在克服高次插值中可能出现的Runge现象。Runge现象是指随着插值节点数量的增加，误差反而增大的现象，特别是在节点密集的区域。分段多项式插值的定义是针对这一问题提出的，它将函数在一段段区间内用不同次的多项式近似，每个区间内要求插值函数满足连续、特定节点上的函数值和导数值条件。
基本的分段插值策略是将节点按顺序排列，然后在每两个相邻节点之间使用适当的多项式。例如，实用中通常采用次数不超过5的分段插值，如线性插值和三次Hermite插值。以例1为例，已知函数f(x)=ln(x)在给定节点上的值，我们可以通过线性插值和抛物线插值来近似f(3.27)。线性插值选取x0=3.2, x1=3.3，计算得到的近似值和误差；抛物线插值则增加节点x2=3.4，应用n=2的Lagrange公式，得到更精确的结果。
通过比较，我们可以看到，增加节点和使用更高阶的插值（如抛物线插值）确实可以提高精度，但需注意的是，这并不总是适用，特别是在Runge现象影响下。因此，分段插值法是一种灵活且有效的策略，它在保证逼近精度的同时，避免了高次插值的潜在问题。
扩展资料
插值法又称“内插法”，是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
