...x为偶数,f(x)=x/2;如果x为奇数,f(x)=3x+1。要证明任一自然数在有限...
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发布时间：2024-10-22 11:02
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时间：2024-11-07 14:48
新疆生产建设兵团农五师 博乐 833400
摘 要 “3X+1问题”： 有两个代数式3X+1与X/2 ；当x为奇数时，将x代入3X+1求取为偶数；再将这一偶数代入X/2求取为奇数；然后，再将这一奇数代入3X+1求取为一偶数…如此反复的使用这样的变换，则结果必得1，也就必定要形成→1→4→2→1这样的“黑洞”循环。而需要解决的问题是：将任一自然数代入，是否都要掉入→1→4→2→1这个“黑洞”循环？
例：X=7时；我们反复使用题意规则的计算将得到以下数字：
7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1→4→2→1…
二十多年前，有人向伟大的数论学家保尔·厄尔多斯介绍了这个问题，并且问他怎么看待现代数学对这问题的无能为力，厄尔多斯回答说：“数学还没有准备好来回答这样的问题。”（摘自三思科学）
本文则给出了“3X+1问题”的另外一种计算形式，而这一另类计算形式的成立，结合有关公式，则证明了“3X+1问题”的必然成立。
关 键 词 3X+1问题 循环奇数 另类计算
1 “黑洞”的完整形式
1. 在用代数式3x+1与 x／2计算的结果…→1→4→2→1中，将→1→4→2→1表示为“黑洞”是不完整的，由奇数求取式 x／2 的应用规则知：其已知“黑洞”→1→4→2→1的完整表达式应为 2n（n∈N+），因2n 不是3的倍数，所以：在（2n —1 ）与（2n＋1）中，必有一个数为3的倍数；公理：在任意3个连续自然数中，必有一个数是3的倍数；当n为偶数时，（2n －1）就必为3的倍数，即： 22a —1＝3y （a∈N+）。
证明：由平方差公式知：
22a—1=（2a —1 ）（2a＋1）
∵ 2a 不是3的倍数
∴ 在（2a —1 ）与（2a＋1）中，必有一个数是3的倍数
∴ 22a—1=3y （1-1）
∴ Y=（22a -1）/3 （a∈N+）
显然 Y=F(a)={1；5；21；85；…}（a∈N+ ）。
所以：集合{1；5；21；85；…}中的元素：即是题意计算中，必然进入“黑洞”的数。
2 计算式与函数式
1 计算式：将代数式3x+1与 x／2 依题意计算规则结合成一式为：
（3X+1）/ 2n = b （2-1）
（式中X为题意中的代入奇数，b为题意中的求取奇数，n∈N+）
2 因此：题意规则的计算，就是代数式（3X+1）/ 2n =b （n∈N+）的应用。
3 整理式（2-1）得： 3X+1=2nb （2-2）
显然：式（2-2）是由两个相邻的自然数组成的代数方程式，在式（2-2）中，因2n 的无限性，所以: 当奇数b表示为一个确定的值时，X的值在实数范围内就必有相对应的无限数列存在，为便于证明，作X=(2nb-1)/3 的集合如下图(为方便证明，有必要记作F（b)) 表一：
b X =?n)=(2nb-1)/3的自然数子集合。记作F（b）
1 1 ； 5 ； 21； …… “黑洞”子集
3 （当b是3的倍数时，F（3b）必为空集;证明见后）
5 3； 13； 53； ……
7 9； 37； 149； ……
9 （当b是3的倍数时，F（3b）必为空集;证明见后）
11 7； 29； 117； ……
13 17; 69; 277; ……
… … ……
定理1
1) “黑洞”集合即F（1）且F（1） =（22 a -1）/3 （a∈N+）
2) 对于两个不同的奇数 b′与b″， F（b′）与和F（b″）互不相交。
3) 所有F（b）的并集为整个奇数集。
4) 对任意自然数b>0，F（3b） 必为空集。
5) 对于任何大于1的奇数b，b不属于F（b）
证明：1）、2）、3）显而易见。因两个相邻的自然数中，没有大于1的公因子存在，所以：4）、5）成立。
定理2 在计算式3X+1=2nb中，必有函数X =F(n)=(2nb-1)/3 （n∈N+ ）。
证明 “3X+1问题”的每一步计算，就是代数式3X+1=2nb应用，因式中3与X都是给定的奇数，所以，3X+1必是一偶数（2nb），因此：题意规则计算是必然的成立。
∴ 在式3X+1=2nb中
令b= b′（b′为一定值）
则X =F(n)=(2nb′-1)/3;（n∈N+ ）注:为便于证明，本文将F(n)记作F（b′）
即：3 F（b′）+1 =2nb′。（注：式中的 F（b′）与2n使用概念相同）
定义 在题意规则的连续计算中，假设b′能重复求取，则称b′为循环奇数；因b′的重复求取而形成的数字循环我们定义为“黑洞”。
“黑洞”的分类定义：
① 一个奇数“黑洞”：指形成这个“黑洞”的数字循环中，只有一个奇数存在；如：已知的数字“黑洞”…-1-4-2-1…这里就定义为是一个奇数“黑洞”的存在形式之一。
情形 在题意规则的连续计算中；b′一经代入，就直接求得b′，再将b′代入，又直接求得b′…… 而形成这样一个奇数“黑洞”的必要条件是：因在题意计算中，奇数求取与代入的转换（相等），所以 b′必须要成为集合F（b′）中的一个元素。
因此：一个奇数“黑洞”的形成就只能有1的唯一存在。
② N个奇数“黑洞”（N＞1）：指形成这个“黑洞”的数字循环中，有N个奇数存在。
情形 将b′（b′＞1）代入，经N步计算后,又求得这一b′，因此：由于b′的重复求取而产生了由N个奇数组成的数字循环 .
定理3 因题意计算式3X+1=2nb中，必有函数X =F(n)=(2nb′-1)/3；（n∈N+ ），所以：不存在孤立的、封闭的数字循环。
例证：假如7是循环奇数，将F（7）=｛9； 37； 149；…｝中的任一元素代入，则都能进入这一循环。
3 “3X+1问题”的另类计算：
定义A 当我们将奇数通式X=2n+1（n∈N），改写为X=2 k n+1 （k∈N 、n∈N）时：若指数k与因数n都为奇数，为此：我们将所有能类推为k与n都是奇数的奇数，叫奇奇对应的奇数。
例：7=2*3+1=21 *3+1 ； （k=1、n=3 ）。
61=2*30+1=22*15+1=23*7+5 （k=3、n=7 ）。
117=2*58+1=22 *29+1=23*14+5=2 4*7+5=25*3+21 （k=5、n=3 ）。
奇奇对应通式---指形如 X=22k+1n+（22k+2-1）/3 （k∈N；n为奇数）的奇数。（注：此式已将k值限在最小；排除了同一奇数中，其他的奇奇对应，）。
例：7=2*3+1；形如：22k+1n+（22k+2-1）/3 （k=0、n=3 ）。
61=23*7+5；形如：22k+1n+（22k+2-1）/3 （k=1、n=7 ）。
117=25*3+21；形如：22k+1n+（22k+2-1）/3 （k=2、n=3 ）。
定义B 当我们将奇数通式X=2n+1（n∈N），改写为X=2 k n+1 （k∈N 、n∈N）时：若指数k与因数n都为偶数，为此：我们将所有能类推为k与n都是偶数的奇数，叫偶偶对应的奇数。
偶偶对应通式---指形如X=22k+2n+（22k+2-1）/3 （k∈N，n为偶数）的奇数。
（注：此式已将k值限在最小；排除了同一奇数中，其他的偶偶对应）。
例：17=22 *4+1；形如：22k+2n+（22k+2-1）/3， （k=0、n=4 ）。
101=24*6+5 ；形如：22k+2n+（22k+2-1）/3， （k=1、n=6 ）。
149=26*2+21；形如：22k+2n+（22k+2-1）/3 。 （k=2、n=2）。
1另类计算法则：
以“3X+1问题”的题意计算式3X+1=2n b为例：
① 当代入奇数X形如奇奇对应的奇数时，则求取奇数b=3n+2 ；且2n =22k+1。
② 当代入奇数X形如偶偶对应的奇数时，则求取奇数b=3n+1 ；且2n =22k+2。
③ 当代入奇数X，即不能表示为奇奇对应的奇数，也不能表示为偶偶对应的奇数时，则计算终止。且求取奇数b=1，X∈F（1）。
证明：① 将X =22k+1N+（22k+2-1）/3 （k∈N，N为奇数）；代入题意计算式3X+1得：
3X+1=3N*22k+1+22k+2=22k+1（3N+2）
∵ 22k+1（3N+2）=2n b 且N、b为奇数。
∴ 2n =22k+1，b=3N+2 。
② 同上。
③ 在奇数通式b=2n+1中 ，当b=1时，则n=0 。
∵ 当n=0时，n为偶数，
∴偶偶对应通式X=22k+2n+（22k+2-1）/3 =（22k+2-1）/3 。
∴ X就不存在任何的对应条件。且 X∈F（1） 。
2举例“3X+1问题”的另类计算：
当X=7时：
① ∵ X=7=2*3+1 属奇奇对应，则n=3 。
∴ b=3n+2=3*3+2=11
② ∵ X=11=2*5+1 属奇奇对应，则n=5 。
∴ b=3n+2=3*5+2=17
③ ∵ X=17=2*8+1=22*4+1 属偶偶对应，则n=4 。
∴ b=3n+1=3*4+1=13
④ ∵ X=13=2*6=22*3=23*1+5 属奇奇对应，则n=1 。
∴ b=3n+2=3*1+2=5
⑤ ∵ X=5=2*2+1=22*1+1 即不是奇奇对应，也不是偶偶对应。
∴ 5∈F（1）。则计算终止， 进入“黑洞”。
注：在对奇奇对应或偶偶对应的推导中，2n 取最小值时才能符合对应通式。
3对比：
① 使用题意规则计算得到的数字：
7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1
② 使用另类计算法则得到的数字：
7→11→17→13→5→1
4另类计算规则的函数表：表二
b
b=3n+1或b=3n+2
F（b）=(2nb-1)/3
1
1=3*0+1 ；（n=0）
22k +2 * 0 +（22k+2 -1）/3
3
5
5=3*1+2 ；（n=1）
22k+1 * 1 +（22k+2 -1）/3
7
7=3*2+1 ；（n=2）
22k +2 * 2 +（22k+2 -1）/3
9
11
11=3*3+2；（n=3）
22k+1 * 3 +（22k+2 -1）/3
…
…
…
定理4 另类计算法则的成立，就决定着：当b′是循环奇数时，则b′与F（b′）中的每一元素，都是同等条件的要形成数字循环。因此：b′不能成为循环奇数。
证1 （为方便证明，这里仅举证三个奇数循环）
⑴ 假设b′（b′≠1）能循环求取，则其题意计算式3X+1=2nb为：
① 3*b′+1=2a b1
② 3*b1+1= 2b b2
③ 3*b2+1=2c b′ （式中2a 、2b 、2c 是2n的具体形式）。
注：后文将以上计算式简称为：设定循环式①、②、③ 。
整理以上的计算式，可得：
b′=（2a+b+3*2a +32）/（2a+b+c -33 ） （3-1）
同理，即可导出循环奇数（b1、b2）的求取公式为：
b1 =（2b+c+3*2b +32）/（2a+b+c -33 ） （3-2）
b2=（2c+a+3*2c +32）/（2a+b+c -33 ） （3-3）
当然，在此设定的数字循环中，还有其它的推导公式，但都是相互印证的成立，并无矛盾。
⑵ 化简：
因为式（3-1）、（3-2）、（3-3）的分母相同。
所以令 b′=y/x ；b1 =y1/x ； b2=y2/x
则x=2a+b+c -33y=2a+b+3*2a +32 ;Y1=2b+c+3*2b +32;Y2=2c+a+3*2c +32。（3-4）
即：y =xb′；y1=xb1 ；y2=x b2 （3-5）
证2 在设定循环式①、②、③ 中：
由①与③得：b′=（2a b1+3*b2）/（2c+3）;两边同乘X（x=2a+b+c -33 ）得：
y=（2ay1+3y2）/（2c+3）。
在上式中：将c任取一自然数（即：在b2 =22k+1n+（22k+2-1）/3中任取一值），将其对应产生的y、y1、y2代入，则等式（循环）成立。
证3 在设定循环式①、②、③ 中：
在b2 =22k+1n+（22k+2-1）/3中任取一值，循环都是同等条件的成立，详证略，如：
① 当k=0时，则b2 =2n+1；（注：以求取式（3-1）的形式将n求取，以准备进行后边的验证）
② 当k=1时，则b2 =23n+5；（注：以求取式（3-1）的形式将n求取，以准备进行后边的验证）
③ 当k=2时，则b2 =25n+21；（注：以求取式（3-1）的形式将n求取，以准备进行后边的验证）
… …
当b′形如3n+1时，证明同上。
以此类推，任一假设的循环都是同样条件的成立；任一假设循环中的循环奇数，都是同样条件的循环形式；因此：循环不能成立。
4 结论 因此，在“3X+1问题”的计算中：
① 不存在孤立的、封闭的数字循环。
② 大于1的任一奇数都不能循环求取。
③ 因为有式（1-1）：3y+1=22a的成立，则决定了“3X+1问题”的必然成立。
④ 因此：“3X+1问题”的题意计算，就是三个等式：3+1=22 →3X+1=2n b→ 3 * F（1）+1= 22a →之间的转变。
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时间：2024-11-07 14:53
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时间：2024-11-07 14:49
