【图形学中的数学】线性代数基础

发布网友发布时间：2024-10-22 07:38

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热心网友时间：2024-11-24 17:13

在图形学中，数学方法广泛应用，特别是几何、渲染和物理仿真等问题，其背后的数学模型常常简化为同一个微分方程。图形学的核心研究对象，如位置和法向量，本质上都是向量，它们遵循向量空间的四边形法则和公理化定义。向量空间中，线性组合和线性无关的概念至关重要，通过寻找线性无关向量的数量可以确定空间的维度。

图形学研究的向量和向量空间主要涉及二维到四维，如点云、Mesh和曲线的坐标，以及颜色空间如RGB和CMYK。线性映射如缩放、旋转（但不包括平移）是低维空间中的重要变换，矩阵则是对这些变换的一种抽象表示，用于计算向量在新空间中的坐标。矩阵的运算，如乘法和转置，提供了对空间变换的深入理解。

高维向量，如图像像素值或自由度，通过矩阵来处理和变换。矩阵的特性，如行列式、迹和逆，反映了线性变换的性质，如拉伸程度和逆变换。特征值和特征向量在图形学中也扮演重要角色，如谱半径和条件数，它们影响了矩阵方程解的性质。

在向量和矩阵的运算中，范数概念用于度量长度或大小，如欧几里得范数和Frobenius范数。矩阵分解如PLU、Cholesky和QR分解，以及奇异值分解（SVD），都是解决线性问题的有效工具。在求导方面，矩阵微分在物理仿真和深度学习中有着实际应用，如求解物理量的导数和模型参数的梯度。

图形学中的张量概念，如内积、外积和张量积，体现了矢量和标量的扩展，协变和逆变的概念是基于基底选择的。张量的运算，如并矢、并乘和缩并，有助于理解物理量的交互和变换。这些数学工具在图形学中构建复杂几何和模拟过程中发挥着核心作用。