三分之一等于零点三三循环,而三分之一乘3等于一,用零点三三循环乘三却...

发布网友发布时间：2024-10-22 07:20

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热心网友时间：2024-11-06 19:24

在数学的世界里，一个看似简单的等式却隐藏着深奥的实数理论。三分之一究竟是不是零点三三循环的无限重复，以及它乘以三为什么会得出零点九九循环？这个问题挑战了我们对实数的理解。

中学课堂上，当我们首次遇到这样的困惑时，其实触及的是实数完备性这一高级概念。实数，用直观的话来说，是所有数列以1为极限的集合，这是其深层次的定义。但为了更好地理解，我们不妨借助于更为直观的论证方法，避开抽象的极限理论。

首先，我们接受一个基本的观念：在任何不等的数之间，总能找到一个中介数，比如0.5就处于0和1之间，这显示了它们的不等性。如果将这个命题转换成它的逆否命题：

公理：若两个数之间不存在任何其他数，那么这两个数必定相等。

这个公理看似显而易见，却并非易证。现在，我们用这个公理来解决我们的疑惑。假设在0.999...和1之间存在一个数α，我们有：

0.9 < 0.99 < ... < α < 1

既然1大于α，我们设δ为它们的差，即 δ = 1 - α > 0。

问题的关键在于，我们的假设与实数的性质产生冲突。如果我们坚持认为1与0.999...之间没有其他数，那么它们的差应始终大于δ。然而，事实是，只要我们继续增加0.999...的小数点后位数，这个差可以无限接近于δ，甚至小于它，这就与我们的假设相矛盾。

因此，根据我们的公理，我们得出结论：1必须等于0.999...，因为它们之间没有其他数可以插入。这个简单的证明揭示了实数的神奇之处，即实数的完备性，它保证了每个无限循环的小数都可以精确地对应一个唯一的实数值。