已知a+b+c=1 求 a的平方+b的平方+c的平方大于等于三分之一

发布网友 发布时间：2024-10-22 07:23

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热心网友 时间：2024-11-05 13:17

因为a+b+c=1 所以(a+b+c)^2=1 a^2+b^2+c^2+2ac+2bc+2ab=1 因为a^2+b^2≥2ab, b^2+c^2≥2bc, c^2+a^2≥2ac 所以3a^2+b^2+c^2+2ac+2bc+2ab≤3a^2+3b^2+3c^2 即3a^2+3b^2+3c^2≥1 所以a^2+b^2+c^2≥1/3 补充： 因为a+b+c=1 所以(a+b+c)^2=1 a^2+b^2+c^2+2ac+2bc+2ab=1 因为a^2+b^2≥2ab, b^2+c^2≥2bc, c^2+a^2≥2ac 所以a^2+b^2+c^2+2ac+2bc+2ab≤3a^2+3b^2+3c^2 即3a^2+3b^2+3c^2≥1 所以a^2+b^2+c^2≥1/3

热心网友 时间：2024-11-05 13:23

用柯西不等式 (∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2 等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。 （a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)>=(a*1+b*1+c*1)^2 则a^2+b^2+c^2>=1/3

热心网友 时间：2024-11-05 13:19

因为a+b+c=1 所以(a+b+c)^2=1 a^2+b^2+c^2+2ac+2bc+2ab=1 因为a^2+b^2≥2ab, b^2+c^2≥2bc, c^2+a^2≥2ac 所以3a^2+b^2+c^2+2ac+2bc+2ab≤3a^2+3b^2+3c^2 即3a^2+3b^2+3c^2≥1 所以a^2+b^2+c^2≥1/3 补充： 因为a+b+c=1 所以(a+b+c)^2=1 a^2+b^2+c^2+2ac+2bc+2ab=1 因为a^2+b^2≥2ab, b^2+c^2≥2bc, c^2+a^2≥2ac 所以a^2+b^2+c^2+2ac+2bc+2ab≤3a^2+3b^2+3c^2 即3a^2+3b^2+3c^2≥1 所以a^2+b^2+c^2≥1/3

热心网友 时间：2024-11-05 13:18

用柯西不等式 (∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2 等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。 （a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)>=(a*1+b*1+c*1)^2 则a^2+b^2+c^2>=1/3