位势论局部紧阿贝尔群上位势论

发布网友 发布时间：2024-10-22 07:30

我来回答

共1个回答

热心网友 时间：2024-11-22 03:20

由于拓扑学和代数学，特别是群上傅里叶分析的发展，使这种群上的位势论取得了丰富的成果。研究集中在局部紧阿贝尔群上的位势论，涉及位势收敛、迁移测度卷积半群、位势核、过度测度与不变测度等核心概念。

设G为局部紧阿贝尔群，对G上的测度网（μα）α∈A，若存在测度μ，对任意函数f∈Cc（支柱紧的连续函数全体），均有浑收敛于μ，则称（μα）α∈A浑收敛于μ。若G上一正测度集合（μt）t>0满足条件①μt(G)≤1，t>0；②s>0；③浑收敛于狄喇克测度ε0；④浑积分存在，则称（μt）t>0是G上一个迁移测度卷积半群，K称为它所对应的位势核。若测度，则测度K*σ称为K位势。

正测度ξ称为关于（μt）t>0是过度的，若对所有t>0，ξ是μt上调和，即μt*ξ ≤ξ；一个正测度ξ称为关于（μt）t>0是不变的，若对所有t>0，ξ是μt调和的，即μt*ξ=ξ。每一个K位势必为过度测度；反之，每一个过度测度必是单调增加K位势网的浑极限。对过度测度ξ，里斯分解定理成立，即ξ=K*σ+η，σ∈D(K)；η是不变测度。

若，其中正测度μ满足μ(G)≤1,μ是n重卷积，μ=ε0，则称v为基本核。若K为位势核，则λK+ε0，λ>0必为基本核。基本核对所有开集满足扫除原理，所以位势核K对所有开集也满足扫除原理。若ω是开集，ξ是过度测度，测度是过度测度，则称为ξ在ω上的简化测度。对简化测度，里斯分解定理仍成立，可用于证明平衡分布原理和正质量原理。

关于位势核K在理想边界的性质、能量有限复测度空间的完备化以及广义函数的引入等，都取得了显著进展。迁移测度卷积半群（μt）t>0所满足的条件放宽为浑收敛于μs,t,s>0和μ0=ε0，测度称为亨特核。亨特核满足扫除原理和推广的电容器原理。

在局部紧豪斯多夫空间x中，若ξ为处处稠密正拉东测度，则称D=D(x，ξ)为ξ狄利克雷空间。若满足公理①对任一紧集K，存在一数A(K)>0，使得；②Cc∩D在D中和Cc中稠密；③对复平面上每一个正常收缩映射T和任一u∈D，有Tu∈D，且‖Tu‖≤‖u‖，则称D(x,ξ)为ξ狄利克雷空间。若对u∈D，存在一拉东测度μ，使得φ∈Cc∩D，则称u为μ的位势。在ξ狄利克雷空间中，同样存在电容器原理、平衡分布原理和扫除原理等。

“位势论”一词的来源在于，在19世纪的物理学中，自然界的基本力被相信为从满足拉普拉斯方程的位势导出。因此，位势论研究可以作为位势的函数。今天，我们知道自然界更为复杂——表述力的方程可以是诸如爱因斯坦场方程或者杨－米尔斯方程这样的非线性偏微分方程的系统，而拉普拉斯方程只是在受限情况下的近似。但是，“位势论”一词还是保留了作为对满足拉普拉斯方程的函数的研究的方便叫法。