三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象如图所示,直线BD∥AC,且直线BD与函数图...
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发布时间：2024-10-22 18:43
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时间：2024-10-25 01:33
依题意有3+2a+b＝0a+b+c＝?3?a?c＝0b＝?2c?3
从而f′（x）=3x2+2cx-（2c+3）=0=（3x+（2c+3））（x-1），
令f′（x）=0有x=1或x＝?2c+33
由于f（x）在x=1处取得极值，
因此?2c+33≠1，得到c≠-31若?2c+33＞1，
即c＜-3，则当x∈（-∞，1）或x∈(?2c+33，+∞)时，f′（x）＞0，
当x∈(1，?2c+33)时，f′（x）＜0，
因此f（x）的单调递增区间为（-∞，1）和(?2c+33，+∞)，单调递减区间为(1，?2c+33)；
若?2c+33＜1，即c＞-3，
则当x∈(?∞，?2c+33)或x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈(?2c+33，1)时，f′（x）＜0，
因此f（x）的单调递增区间为(?∞，?2c+33)和（1，+∞），单调递减区间为(?2c+33，1)．
（2）设直线BD的方程为y=f′（xB）（x-xB）+f（xB）因为D点在直线上又在曲线上，
所以f（xD）=f′（xB）（xD-xB）+f（xB）
即（xD3+axD2+bxD+c）-（xB3+axB2+bxB+c）=（3xB2+2axB+b）（xD-xB）
得到：xD2+xDxB-2xB2+axD-axB=0从而xD+2xB+a=0，
同理有xA+2xC+a=0，由于AC平行于BD，
因此f′（xB）=f′（xC），
得到xB+xC＝?2a3
进一步化简可以得到xA+xD＝xB+xC＝?2a3，
从而xA-xB=xC-xD
又（xA-xB）+（xC-xD）=（xB-xC），
因此（xA-xB）：（xB-xC）：（xC-xD）=1：2：1
