在Rt三角形ABC中,角C=90°,BC=a,CA=b,AB=c,请你分别求出满足下列条件的...
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发布时间:2024-12-04 10:04
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时间:36分钟前
解:
设Rt△ABC中,∠C=90度,BC=a,AC=b,AB=c
结论是:内切圆半径r=(a+b-c)/2
或者用:内切圆直径L=a+b-c
证明方法一般有两种:
方法一:如图设内切圆圆心为O,三个切点为D、E、F,连接OD、OE
显然有OD⊥AC,OE⊥BC,OD=OE
所以四边形CDOE是正方形
所以CD=CE=r
所以AD=b-r,BE=a-r,
因为AD=AF,CE=CF
所以AF=b-r,CF=a-r
因为AF+CF=AB=r
所以b-r+a-r=r
内切圆半径r=(a+b-c)/2
即内切圆直径L=a+b-c
方法二:如图设内切圆圆心为O,三个切点为D、E、F,连接OD、OE、OF,OA、OB、OC
显然有OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB
所以S△ABC=S△OAC+S△OBC+S△OAB
所以ab/2=br/2+ar/2+cr/2
所以r=ab/(a+b+c)
=ab(a+b-c)/(a+b+c)(a+b-c)
=ab(a+b-c)/[(a+b)^2-c^2]
因为a^2+b^2=c^2
所以内切圆半径r=(a+b-c)/2
即内切圆直径L=a+b-c