在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点M为边BC的中点,点P为边CD上的动点(点P异于...
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发布时间：2024-10-24 16:32
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时间：2024-11-16 20:44
（2）当E与A重合时，DE=DA=2，将y=2代入第一问得出的y与x的关系式中，即可求出x的值；
（3）存在，理由为：如图所示，过P作PH垂直于AB，由对称的性质得到：PD′=PD=4-x，ED′=ED=y=-x2+4x，EA=AD-ED=x2-4x+2，∠PD′E=∠D=90°，在Rt△D′PH中，PH=2，D′P=DP=4-x，根据勾股定理表示出D′H，再由△ED′A∽△D′PH，由相似得比例，将各自表示出的式子代入，可列出关于x的方程，求出方程的解即可得到满足题意的x的值．
解答：解：（1）∵PE⊥PM，∴∠EPM=90°，
∴∠DPE+∠CPM=90°，
又矩形ABCD，∴∠D=90°，
∴∠DPE+∠DEP=90°，
∴∠CPM=∠DEP，又∠C=∠D=90°，
∴△CPM∽△DEP，
∴CPDE=CMDP，
又CP=x，DE=y，AB=DC=4，∴DP=4-x，
又M为BC中点，BC=2，∴CM=1，
∴xy=14-x，
则y=-x2+4x；
（2）当E与A重合时，DE=AD=2，
∵△CPM∽△DEP，
∴CPDE=CMDP，
又CP=x，DE=2，CM=1，DP=4-x，
∴x2=14-x，即x2-4x+2=0，
解得：x=2+2或x=2-2，
则x的值为2+2或2-2；
（3）存在，过P作PH⊥AB于点H，
∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，
∴PD′=PD=4-x，ED′=ED=y=-x2+4x，EA=AD-ED=x2-4x+2，∠PD′E=∠D=90°，
在Rt△D′PH中，PH=2，D′P=DP=4-x，
根据勾股定理得：D′H=(4-x)2-22=x2-8x+12，
∵∠ED′A=180°-90°-∠PD′H=90°-∠PD′H=∠D′PH，∠PD′E=∠PHD′=90°，
∴△ED′A∽△D′PH，
∴ED′D′P=EAD′H，即-x2+4x4-x=x(4-x)4-x=x=x2-4x+2x2-8x+12，
整理得：2x2-4x+1=0，
解得：x=2±22，
当x=2+22或x=2-22时，此时E在DA上或延长线上，符合题意，
则x=2+22或x=2-22时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上．
故答案为：（1）y=-x2+4x；（2）2-2
点评：此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，对称的性质，矩形的性质，以及一元二次方程的应用，利用了数形结合的数学思想，灵活运用相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
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时间：2024-11-16 20:47
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时间：2024-11-16 20:45
令y=2
-x2 4x=2
x=2±根号6
x=2 根号6
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时间：2024-11-16 20:45
