图的割点和割边

发布网友发布时间：2024-11-08 04:35

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热心网友时间：2024-11-08 04:32

图的割点与割边详解

在图论中，两个关键概念是割点和割边，它们对于理解图的连通性和结构至关重要。让我们深入剖析这两个概念及其在tarjan算法中的应用。

一、割点与割边的定义

1. 割点：在图中，如果移除一个点及其相连的边，使得原图分裂成两个不连通的部分，那么这个点被称为割点。例如，图中的A和B就是割点，因为它们的存在使得图分裂成两块，而C不是割点，因为即使移除它，图仍然保持连通。

2. 割边：同样地，如果移除一条边，使得该边所在的图分裂成两个不连通的子图，那么这条边就是割边。比如，AB是割边，因为它的移除导致图的连通性断裂，而BC则不是。

二、tarjan算法的应用

tarjan算法是一种寻找强连通分量和割点的有效方法。算法中涉及到的变量和数组有助于我们理解割点和割边的判断过程。

变量与数组

edge[]: 存储边的连接信息，用于遍历图的结构。
cut[] 和 bridge[][]: 分别记录节点是否为割点和边是否为割边。cut[x] = true 表示x是割点，而bridge[x][y] = true 表示边(x, y)是割边。
low[], dfn[] 和 vis[]: 分别表示节点的低点值、首次访问顺序和访问状态。low[]用于确定回边和割点。

关键数组low和dfn的解析

dfn数组记录节点被访问的顺序，每次访问新节点X时，dfn[X]会被设置为全局变量tim递增后的新值。low[X]则代表X与其子树中可以回溯到的最低dfn值。回边是指从已访问节点指向未访问节点的边，遇到回边时，需要更新low值。

举个例子，当遍历到节点4时，与节点2和5的边构成回边，low[4]被更新为dfn[2]的较小值。在递归过程中，每次回溯时，低点值会根据子节点的low值更新，直到找到整个连通分量。

三、判断割点与割边的步骤

1. 割点
- 当节点是根节点，且其子树数量大于与之相连的边数时，它是割点。
- 非根节点若有一个子节点的low值大于或等于其dfn值，说明子节点无法通过回边到达其他部分，此时节点为割点。

2. 割边
- 任意两点u和v之间，如果low[u]大于dfn[v]，则边u-v是割边，表示这条边的存在使两个部分不连通。

四、tarjan算法的代码实现

函数cut_bri()是tarjan算法的核心，复杂度为O(|V|+|E|)。这里使用vis[]标记节点的访问状态，dfn[]存储dfn值，low[]更新回边信息，cut[]记录割点，bridge[][]记录割边。

通过遍历每个节点及其相邻节点，算法能够准确地找出所有的割点和割边。在main()函数中，对每个连通块调用cut_bri()，最终输出割点的数量。

通过以上的详细解释和实例，我们已经深入理解了图的割点和割边以及tarjan算法在其中的应用。这些概念和算法在处理复杂网络结构时具有重要价值。