已知f(x)=1/3ax³+bx+2是定义在R上的函数,f(x)在(0,1)上是减函数在...
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发布时间：2024-10-24 18:34
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时间：2024-11-07 09:23
因为在（0，1）上是减函数在（1，+∝）为增函数（减函数导数小于0，增函数导数大于0），x=1时导数为0
得到f'(1)=a+b=0
又：x=0处的切线斜率为x=0时的导数，f'(0)=b，
y=x+2的斜率为1（导数为1，所以斜率为1），也就是与x轴呈45度角，因此切线的斜率与x轴呈135度（做个图就明白了），得到b=-1
或者可以有：两条相互垂直的线斜率之积为-1，所以得到b=-1
将b=-1带入a+b=0得a=1
所以f（x）=1/3x³+x+2
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时间：2024-11-07 09:25
热心网友
时间：2024-11-07 09:24
题目：
定义在R上的函数f(x)=1/3ax3+bx2+cx+2同时满足以下条件：
1.f（x）在（0，1）上时间函数，在（1，+无穷）上是增函数。
2.f（x）的导函是偶函数
3.f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直
问题：1.求函数f(x)的解析式
2.设g（x）=（1/3x3-f（x））ex求函数g（x）在【m，m+1】上的最小值
解答：
f'(x)=ax²+2bx+c，由于f'(x)是偶函数，所以 b=0，f'(x)=ax²+c
又f（x）在（0，1）上减函数，在（1，+无穷）上是增函数，所以f'(1)=0，即a+c=0
由f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，所以 f'(0)=c=-1，从而a=1
于是 f(x)=x³/3 -x+2
2.g(x)=(x-2)e^x，g'(x)=e^x+(x-2)e^x=(x-1)e^x，
易知，g(x)在（-∞，1]上是减函数，在[1，+∞)上是增函数。
（1）当0≤m≤1时，1∈[m，m+1]，[g(x)]min=g(1)=-e；
（2）当m<0时，g(x)在[m，m+1]上是减函数，[g(x)]min=g(m+1)=(m-1)e^(m+1)；
（3）当m>1时，g(x)在[m，m+1]上是增函数，[g(x)]min=g(m)=(m-2)e^m
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