三国杀最强大脑挑战赛的解题思路是什么? - 知乎
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发布时间：2024-10-24 18:39
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时间：2024-10-29 14:11
这个关于关兴张苞第二轮谜题，我觉得还挺有意思的，在三国杀的「壳」下，它其实是一个并不算太简单的概率和数列问题。
第 1 问：三国杀 108 张牌，四个花色各26张，另有4张EX牌，分别是黑桃2，红桃Q，梅花2，方块Q，在牌顶翻出两张牌，颜色不同的概率是多少？
原题为了简化问题，允许翻开第一张后去重新洗牌，那答案好像还挺简单，因为下一张牌要么和第一张颜色相同，要么颜色不同，而且两种颜色的牌的概率一样的，那么概率显然是 1/2。
这边有一个小拓展：如果两张牌是同时翻开的，那么概率是多少呢？
这就是演变成一道典型的「排列组合」问题。虽然很基础，但在面试中还是可以难倒一部分不熟悉排列组合的同学。
思路是：用 一黑一红的情况数除以全部情况数。
因为黑牌和红牌都是 54 张，不考虑顺序，组合有 54 种；
而牌堆有 108 张，组合数有 108 种。
两者相除，结果就是 54/107，这个数略大于 1/2。
第 2 问：假设这个武将想要两种强力技能【强甲】和【强乙】，获得条件是每回合摸牌的时候亮一张牌： （1） 如果亮出的牌点数是1-3点，无事发生 （2） 4-9 点，获得“强甲”技能，但下一回合不能亮牌 （3）10-K，同时获得“强甲”和“强乙”技能，但下两个回合都不能亮牌 在第一题的卡牌条件不变的情况下，在游戏的第三回合，获得【强甲】技能的概率是多少？
这个问题倒是不难，但分情况讨论，需要一些细心。
首先，这个「亮牌」肯定是无脑发动的。假设（1）~（3）的情况分别是 A、B、C，那么各种情况遇到的概率如下表所示：
根据规则，第一回合亮牌后，如果第三回合技能【强甲】发动，那么只有 2 种情况：
如下图所示：
把以上两个概率相加，结果应该是60065/157464 （果然是不让人蒙对啊！）
第 3 问：当游戏回合数为无穷时，【强甲】发动的概率将逐渐稳定在一个值，这个值是多少？
这个问题描述简单，但背后还是蕴含一些有趣的数列知识。
如果把「逐渐稳定在一个值」当作一个已知条件，那这个题还不算太难，但实际上，证明这个收敛性才是这个问题的精髓。
证明 (可跳过)：
设第 n 轮发动亮牌的概率为 [公式]，那么由上一题可知， 发动亮牌的概率其实只和之前 3 轮的结果有关，表达式可以写成： [公式] （ [公式] ） 而对于 n= 1~3 的情形，我们有： [公式] [公式] [公式] （参考上一问） 这个递推数列的通项公式，本质上可以通过特征方程来求解。方程为 [公式] 也即： [公式] 这是个一元三次方程，但很显然 x=1 是方程的一个根，于是方程变为： [公式] 得： [公式] [公式] 数列的通解是： [公式] 用 [公式] 的结果带入即可得到通项公式。 这个计算显然非常复杂（又是三元一次方程，又有复数），但我们注意到： [公式] 的结果的绝对值都小于 1 。 因此当 n 趋于无穷大的时候，通解的后两项都趋于 0 ，因此通解会趋于 [公式] 。 于是我们就证明了收敛性！
当数列收敛，且回合数 n 趋于无限大的时候，A、B、C 遇到的概率会趋于 P(A)、P(B)、P(C)，它们分别对应：每回合发动、两回合发动一次、三回合发动一次。
那么当回合数趋于无穷大时，一个回合亮牌的概率，也即发动亮牌的回合比例：
[公式]
于是【强甲】发动的概率
[公式]
所以你看，虽然题目实际上简化了许多，且考虑受众，强调了这些初中生也可以做，但背后蕴含的数学知识其实也并不简单~
