曼哈顿距离详细资料

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曼哈顿距离是基于两点在直角坐标系中的轴向投影距离总和的定义，常被称作L1距离或城市街区距离。在平面直角坐标系中，两点之间的曼哈顿距离由两点坐标差的绝对值之和计算得出，具体公式为d(i,j)=|X1-X2|+|Y1-Y2|。值得注意的是，曼哈顿距离的计算依赖于坐标系统的方向，而非坐标轴的位置或映射。这种距离的命名源自对城市街区结构的模拟，如曼哈顿，其中最短的行车路径遵循方格街道网络，无法通过非直线路径缩短距离。

在曼哈顿距离的背景下，出租车几何学提供了一种独特的空间概念，其规则与传统的欧几里得几何有所区别。例如，一个圆被定义为从圆心到所有与之保持特定曼哈顿距离的点的集合，这一概念在二维空间中转化为一个旋转45度的正方形。当考虑多个这样的圆时，若任意两个圆都相交，则整个圆集在某一点上必然相交，这表明曼哈顿距离定义的空间是超凸的，即任何两点间的曼哈顿距离都是它们到任一中间点距离之和的上限。对于半径为r的圆，其构成的正方形边长为√2r。在二维平面中，一个半径为r的切比雪夫距离（L∞空间）可以看作是一个边长为2r的正方形，即等效于将曼哈顿距离以旋转和放大的方式表示。然而，这种等价关系不适用于更高维度的空间。

曼哈顿距离具有以下数学性质：

非负性：d(i,j)≥0，表示距离是一个非负数值。

同一性：d(i,i)= 0，对象到自身的距离为0。

对称性：d(i,j)= d(j,i)，距离是一个对称函数。

三角不等式：d(i,j)≤d(i,k)+d(k,j)，从对象i到对象j的直接距离不会大于途经的任何其他对象k的距离。

这些性质使得曼哈顿距离在计算和应用中具有稳定性和实用性，广泛应用于计算机科学、地理信息系统、机器学习等领域，特别是在路径规划、数据聚类和图像处理等场景中。通过理解曼哈顿距离的基本概念及其在不同几何和数学环境下的表现，我们可以更好地将其应用于实际问题解决中。