豪斯多夫空间预正则性和正则性

然而，对于那些仅对正则空间成立的结果，豪斯多夫空间可能不适用。这是因为豪斯多夫空间通常不具备正则性，但它们的局部紧致性版本可以保证正则性，因为所有豪斯多夫空间本质上是预正则的。在这种情况下，尽管豪斯多夫性并不直接带来正则性，但在讨论这些特定条件时，预正则性起到了关键作用，因为这些条件更...

这种条件经常有两个版本: 正则版本和豪斯多夫版本。尽管豪斯多夫空间一般不是正则性的，局部紧致的豪斯多夫空间是正则性的，因为任何豪斯多夫空间都是预正则性的。因此从特定角度来看，在有关这些情况的时候它实际是预正则性的，而非正则性的。但是，定义仍依据正则性来措辞，因为这些条件比预正则性更周知。

另一方面，一个拓扑空间是预正则的，如果且仅如果它的柯尔莫果洛夫商空间满足豪斯多夫空间的条件。简而言之，豪斯多夫性和预正则性是衡量拓扑空间结构精细程度的重要指标，它们之间的相互关系构成了拓扑学研究的核心内容。

豪斯多夫空间具有独特的性质，其中子空间和乘积空间继续保持豪斯多夫特性，[1] 但商空间并不总是如此。所有的拓扑空间都能作为某个豪斯多夫空间的商空间存在。豪斯多夫空间的一个关键特性是它们是T1空间，意味着单元素集合总是闭集。类似地，预正则空间符合R0条件，即每个点都有一个零邻域。豪斯多夫空间的...

在拓扑学的扩展中，豪斯多夫性、分离性和预正则性概念同样适用于一致空间、柯西空间和收敛空间等变体。这些空间的一个核心特性在于，它们对网或滤子的极限定义具有独特性。在分离空间中，极限是唯一的，而在预正则空间中，极限的唯一性则是通过拓扑同构来体现的。一致空间和更广泛的柯西空间的共同特征是...

X 是豪斯多夫空间如果任何两个X 的独特的点可以由邻域分离。这时的豪斯多夫空间也叫做 T2 空间和分离空间的原因。X 是预正则空间，如果任何两个拓扑可区分的点可以由邻域分离。预正则空间也叫做 R1 空间。在这些条件之间的联系如下。拓扑空间是豪斯多夫空间，当且仅当它是预正则空间和柯尔莫果洛夫空间...

这显现出一致空间和更一般的柯西空间总是预正则的，所有在这些情况下豪斯多夫条件简约为 T0 条件。还有完备性在其中有意义的空间，豪斯多夫性在这些情况下是完备性的自然伙伴。特别是，一个空间是完备的，当且仅当所有柯西网有至少一个极限，而一个空间是豪斯多夫的，当且仅当所有柯西网都有最多一个...

然而，在抽象代数和代数几何中，非预正则空间更为常见，特别是在代数簇或交换环谱的Zariski拓扑中。这种情况下，预正则性并不是必需的，而豪斯多夫性则更为少见。在直觉逻辑的模型论中，虽然完全Heyting代数可以表示拓扑空间的开集的代数，但这些空间并不一定要求是豪斯多夫的，更多时候是作为理论研究的...

伪度量空间典型的不是豪斯多夫空间，但是它们是预正则的，并且它们在分析中通常只用于构造豪斯多夫gauge空间。实际上，在分析家处理非豪斯多夫空间的时候，它至少要是预正则的，他们简单的把它替代为是豪斯多夫空间的它的柯尔莫果洛夫商空间。相反的，在抽象代数和代数几何更经常见到非预正则空间，特别是...

在拓扑学中，积空间与各种拓扑概念之间存在紧密的联系。首先，关于T0空间，其积空间保持了T0性质，即对于任意两个点，总能找到开集区分它们。同样的，T1空间的积仍然是T1，意味着任意两个点可以由不相交的开集分离。豪斯多夫空间的积保持了豪斯多夫性，即任意两点间存在两个不相交的邻域。对于正则空间，...