如何理解线性代数中的r(A

发布网友发布时间：2024-10-21 22:29

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热心网友时间：2024-11-10 08:17

线性代数中，当有一个单位列向量a时，我们考虑其与自身的转置a'的乘积a乘以a'的秩。根据线性代数的性质，我们可以证明该秩等于1。

关键在于理解秩的定义，秩r(A)表示矩阵A的列向量组的极大线性无关组的大小。为了证明r(A'A)等于r(A)，我们需要展示方程组AX=0和A'AX=0的解集相同。如果AX=0，我们可以通过左乘A'得到A'AX=0，说明每个AX=0的解也满足A'AX=0。反过来，如果A'AX=0，通过左乘X'并令Y=AX，我们可以得到Y'Y=0，即每个A'AX=0的解都对应着Y=0，这意味着Y=AX=0，从而证明了两个方程组解集相同。

综上所述，由于AX=0和A'AX=0具有相同的解，我们可以得出r(A'A)的秩与r(A)的秩相等，即r(A'A)=r(A)=1。这个结果体现了单位列向量a的独特性，它的转置与自身相乘并不会增加线性无关的列向量数量。