r(a, b)= r(b, a)吗?
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发布时间：2024-10-21 22:29
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时间：2024-11-10 08:17
r(A,B)>=r(A+B)。
r(A,B)>=r(B)>=r(AB)。
r(AB)与r(A+B)没有直接关系。
矩阵B可逆，AB的秩等于A的秩，那么A可逆的充要条件是A可以写成初等阵的乘积。AB等于B左乘初等矩阵，而左乘初等阵就是对B进行初等行变换，所以它的秩不变。而B可逆的充要条件是B可以写成初等阵的乘积，同理秩不变。
变化规律
1、转置后秩不变
2、r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵
3、r(kA)=r(A),k不等于0
4、r(A)=0 <=> A=0
5、r(A+B)<=r(A)+r(B)
6、r(AB)<=min(r(A),r(B))
7、r(A)+r(B)-n<=r(AB)
证明：
AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵
|AB O|
|O En|
A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有
|AB A|
|0 En|
右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有
|0 A |
|-B En|
所以,r(AB)+n=r(第一个矩阵)=r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)
即r(A)+r(B)-n<=r(AB)
注：这里的n指的是A的列数。这里假定A是m×n矩阵。
特别的：A:m*n,B:n*s,AB=0 -> r(A)+r(B)<=n
8、P,Q为可逆矩阵, 则 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)
9、若矩阵可相似对角化则矩阵的秩等于矩阵非零特征值的个数。
