矩阵A的转置r(A)= r(A)吗?
发布网友
发布时间：2024-10-21 22:29
共1个回答
热心网友
时间：2024-11-19 06:54
相等，因为A的秩为r，必有一个r阶的行列式不为0的矩阵，转置这个仍然是这个。
用A'表示A的转置，要证明r(A'A)=r(A),只需证明方程组AX=0和A'AX=0，同解，如果AX=0，两边分别左乘A'，得A'AX=0，这说明方程组AX=0的解都是方程组A'AX=0的解，另一方面如果A'AX=0，两边分别左乘X'，得X'A'AX=0，即(AX)'AX=0。
扩展资料：
注意事项：
如果A的列向量线性无关，则 T(A)*A得到一个可逆的方阵。
假设A是一个kxn的矩阵，那么T(A)*A是一个nxn的方阵，要证明这个方阵可逆，只要证明N(T(A)*A) = 零空间即可。
假设列向量向量V，满足 (T(A)*A) V = 0 => T(V)*T(A)*A*V = 0=> T(AV)*(A*V) = 0=> AV=0 A的零空间只包含零向量=>V = 0。
参考资料来源：百度百科-矩阵转置
参考资料来源：百度百科-矩阵的秩
