谨记!进击的紧集!!(三)

发布网友发布时间：2024-10-21 17:30

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热心网友时间：2024-11-16 07:34

本文将深入探讨紧集的性质，特别是关于[公式] 的紧集。首先，我们回顾一个关键定理：设[公式] 是紧集 [公式] 中的无限子集，那么它在 [公式] 中必然存在极限点。这个定理通过反证法证明，任何无限子集不能没有极限点，否则将违反紧集的定义。

定理2表明，如果[公式] 是正整数，并且[公式] 的方格序列层层嵌套，那么[公式] 不会是空集，即存在至少一个点属于所有[公式] -方格。这个定理的证明较为直接，但直观理解是每一层方格都在缩小包围区域，最终会包含至少一点。

紧集的另一个重要性质是[公式] -方格本身是紧集，其证明通过构造一个无限序列来说明，如果[公式] 不是紧集，将产生矛盾。定理4揭示了闭、有界集与紧集的等价性，即这三个性质互为充要条件。

最后，Weierstrass定理指出，在[公式] 中，任何有界无限子集必然存在极限点。证明是利用紧集的定义和有界集的性质，将问题简化到紧集的子集上。