如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与...

发布网友发布时间：2024-10-21 21:23

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热心网友时间：2024-10-21 21:48

（Ⅰ）连接D1O，如图，∵O、M分别是BD、B1D1的中点，BD1D1B是矩形，
∴四边形D1OBM是平行四边形，∴D1O∥BM．
∵D1O?平面D1AC，BM?平面D1AC，
∴BM∥平面D1AC．
（Ⅱ）连接OB1，∵正方形ABCD的边长为2，BB1=2，
∴B1D1=22，OB1=2，D1O=2，
则OB12+D1O2=B1D12，∴OB1⊥D1O．
∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥D1D，
∴AC⊥平面BDD1B1，又D1O?平面BDD1B1，
∴AC⊥D1O，又AC∩OB1=O，
∴D1O⊥平面AB1C．
（Ⅲ）在平面ABB1中过点B作BE⊥AB1于E，连接EC，
∵CB⊥AB，CB⊥BB1，
∴CB⊥平面ABB1，又AB1?平面ABB1，
∴CB⊥AB1，又BE⊥AB1，且CB∩BE=B，
∴AB1⊥平面EBC，而EC?平面EBC，
∴AB1⊥EC．
∴∠BEC是二面角B-AB1-C的平面角．
在Rt△BEC中，BE=233，BC=2
∴tan∠BEC=3，∠BEC=60°，
∴二面角B-AB1-C的大小为60°．