拜求数学高手,请问谁知道斐波拉契数列(1,1,2,3,5,8,13,…)通项公式和...

发布网友 发布时间：2024-10-21 21:19

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热心网友 时间：2024-10-21 21:38

u=(1+sqrt(5))/2
v=(1-sqrt(5))/2
那么Fibonacci数列A(n)的通向公式是
A(n)=[u^n-v^n]/sqrt(5)。
求和的话只不过用到了等比数列求和，你自己算。

推导很简单，u,v是方程x^2=x+1的两根，Fibonacci数列的递推公式是
A(n+2)=A(n+1)+A(n)
于是经简单变换有
[A(n+2)-uA(n+1)]=v[A(n+1)-uA(n)]
这个是等比数列，易得其通项为
A(n+2)-uA(n+1)=v^n[A(2)-uA(1)]
同理
A(n+2)-vA(n+1)=u^n[A(2)-vA(1)]
当成关于A(n+2)和A(n+1)的线性方程组解一下就有了。

热心网友 时间：2024-10-21 21:38

Kn=Kn-1+Kn-2
反证法

热心网友 时间：2024-10-21 21:41

强人 我都快忘记了～

热心网友 时间：2024-10-21 21:34

通项公式的推导方法一：利用特征方程
线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5，C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】
通项公式的推导方法二：普通方法
设常数r,s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1, -rs=1
n≥3时，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
将以上n-2个式子相乘，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}