环与域(Rings and Fields )(下)
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发布时间：2024-10-20 21:18
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时间：2024-11-16 23:31
域是一个满足以下条件的环：
1）该环非平凡
2）该环的所有非零元素组成的集合关于乘法运算是个群
3）乘法运算是commutative的，
如果乘法运算不是commutative的，但条件1）2）成立，则称这是个有偏的域（noncommutative field)
注：域就是对乘法满足交换律的环，且其非零元素的集合关于乘法是个群。 例子：有理数集、实数集、复数集都是域。
例子：当p是质数时，商集Z/pZ是域。
回顾：
例子的证明：
Z/pZ中元素形如[公式] ，在其上可以定义加法：
[公式] ，显然加法满足交换律，结合律，具有0，关于加法封闭
在其上定义乘法：[公式] ，包含1，满足交换律、结合律，关于乘法运算封闭，
因而Z/pZ是个环。
下证Z/pZ的所有非零元素的集合关于乘法是群。当p是质数时，Z/pZ除了0以外没有零因子。
故[公式] ， [公式] ，即Z/pZ-{ [公式] }关于乘法是封闭的。由性质2.16，Z/pZ中的元素类 [公式] 关于乘法有逆元。
例子：
证明：加法：
[公式] 则 [公式]
交换律、结合律显然都满足。包含0.
乘法：[公式]
故关于乘法运算封闭。包含1。满足结合律
也满足交换律。
注：环并不一定要求对乘法运算满足交换律。
9，两个域之间的同态映射
两个域之间的同态映射一定是单射 证明：由于 [公式] 和 [公式] 在乘法下是群，即域 [公式] 的非零元素集在乘法下是群。 对于 [公式] , [公式] , [公式] 推出 [公式] 且 [公式] 由上面推断,其等价的逆否命题为若h(x)=0,则x=0，由环上的映射的核的定义，即Ker h={0} 由性质2.17，环上同态的映射h是单射的充要条件是Ker h={0}。
10，域上的同态映射是同构的充要条件
11，域的扩展
由上面的推断，域上同态的映射一定是单射，因而[公式] 是 [公式] 的子域。称 [公式] 是 [公式] 的扩展。
例子：
12，代数闭域
代数闭域就是说，对于任意多项式p(x),在该域中都有根。
例子：
对于任意的域K，都存在最小的扩展，也就是代数闭域，称其为K的代数闭域。
例如复数域是实数域的代数闭域名。
有理数域的代数闭域称为代数数域。代数数域包含所有的有理系数多项式的根。
the field fixed by h
给定一个域K，以及定义于其上的自同构的映射h，集合{[公式] }是K的子域，称为the field fixed by h。
例子：
由c的定义，{[公式] }=Q，这是因为c(a)=a只有当d=0时才成立。
如果K是域，有同态的映射[公式] :h(n)=n.1。1）若h是单射，则K包含Z。又由于K是一个域， [公式] ，故K也包含Q。对于这种情况，我们称K有特征0。
2）若h不是单射，则h(Z)是K的子环，因而是个整环。 （证明： 由定义，一个整环是一个非平凡、commutative的环，且除了0以外，不存在零因子； 又由定义，域就是对乘法满足commutative的非平凡的环，且其非零元素的集合关于乘法是个群。即一个域除了0以外，不存在非0因子。因此一个域同时也是一个整环。 由子环定义，A'是A的子群，则在加法运算下A'是A的子群;且A'对乘法运算封闭，包含1。 h(Z)是域（整环）的子环，因而是个整环） Z/pZ是个整环 [公式] Z/pZ是个域 [公式] p是质数。 Kerh 是Z的子集，因而 [公式] ,s.t.Ker h=pZ，由同构第一定理，[公式] ,h(Z)与Z/pZ同构。 此时，p也称为K的特征，我们也称K具有有限域特征。
the characteristic of K
对一切n[公式] ，当n.1这个二元运算不为0，即h(n)=n.1这个从Z到K上的同态映射是个单射，h(0)=0,Ker h={0},f(Z)是个整环，除了0，没有非零的零因子。称K有特征0。
如果存在某个质数p，使得p.1这个二元运算的结果为0，即p是个零因子，找到这个最小的质数p，则称K为有特征p。
可见这个特征p是用来描述环h(Z）的最小零因子的。
特征0的域是无限的。特征p([公式] )的域是有限的。然而也有无限的域的具有非零特征。
