怎样证明数轴上任意一个点不是有理数就是无理数

发布网友发布时间：2024-10-15 06:28

共3个回答

热心网友时间：2024-11-25 00:00

没错，实数集是有理数集和无理数集的并，但是用这个“定义”是无法解决楼主的问题的.
实数集R的真正定义是：一切收敛的有理数数列的极限点的全体.
由此定义无理数集：不是有理数的实数叫做无理数.
所以楼主的问题是：为什么数轴上的点和实数是一一对应的？
当数轴上原点O取定以后，对于O右方的任一点M，线段OM的长度就是M的坐标x，由于线段OM的长度|OM|（不论它数否有理数）都可以用一列有理数(r n)无限*近，即x=lim (r n), 所以按定义知x是实数.由此O右方的任一点M对应了一个实数x.
同理可说明对于O左方的任一点M也对应一个实数.
反过来，给定一个实数x，如果x>0,则对应了O点右方距离为x的点M.如果x<0,对应了O点左方距离为-x的点M.
实数集的这一定义也叫“有理数集的完备化”，使得数轴上的点（几何概念）和实数（代数概念）实现了一一对应.追问关于“线段OM的长度|OM|（不论它数否有理数）都可以用一列有理数(r n)无限*近，即x=lim (r n)” 这个r（n）大概是怎么构造的。。。
这方面有什么参考资料的话更好

追答比方说x是一个无理数，必定是无限不循环小数，取r(n)是x的第n位去尾小数，则x=lim r(n).

热心网友时间：2024-11-25 00:01

对实数进行分类，不是有理数就是无理数，而数轴上的点可以表示所有的实数，因此数轴上任意一个点不是有理数就是无理数

热心网友时间：2024-11-25 00:01

反证法