曲线y=sinx与直线x=π/2,y=0所围成的图形绕x轴旋转产生的旋转体的体积...
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发布时间：2024-10-19 08:38
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时间：2024-11-15 21:17
所求旋转体的体积可看成是由直线x=π/2,y=1,x轴与y轴共同围成的图形绕y轴旋转产生的旋转体体积V1与由直线y=0,曲线y=sinx与y轴所围成的图形绕y轴旋转产生的旋转体体积V2这两者的差值 V1明显是一个圆柱体的体积,其底面半径为π/2,高为1,所以V1=π*(π/2)^*1=(π^3)/4 V2的体积可以通过列出下列积分求出：V2=∫π*x^(y)dy,y的积分下限为0,上限为1,其中x(y)为y=sinx的反函数,即x=arcsiny,于是有V2=π*∫(arcsiny)^dy 上式可转化为对x的积分：V2=π*∫x^d(sinx)（x下限可求出为0,上限为π/2） 对其进行分部积分：(以下凡是关于x的积分都是下限为0,上限为π/2) V2=π*x^*sinx|(x=π/2)-n*x^*sinx|(x=0)-π*∫sinx d(x^) =(π^3)/4 + 2π*∫xd(cosx) =(π^3)/4 + 2π*xcosx|(x=π/2)-2π*xcosx|(x=0)-2π*∫cosxdx =(π^3)/4 -2π*sinx|(x=π/2)+2π*sinx|(x=0) =(π^3)/4-2π 于是所求V=V1-V2=2π
