指数函数、对数函数、幂函数的图像规律有哪些?
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发布时间：2024-10-18 10:46
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时间：2024-11-16 06:30
当x趋近于0时，所有指数函数趋近于1，所有对数函数都趋近于负无穷或正无穷，所有幂函数都趋近于0。
解析（规律）：
1、指数函数：
一般地，函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R。 对于一切指数函数来讲，值域为(0， +∞)。指数函数中前面的系数为1。
所以当x趋近于0时，所有指数函数趋近于1。
2、对数函数：
一般地，函数y=log（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。值域为（-∞，+∞）。
所以当x趋近于0时，所有对数函数都趋近于负无穷或正无穷。
3、幂函数
幂函数的一般形式是，其中，a可为任何常数，但中学阶段仅研究a为有理数的情形（a为无理数时取其近似的有理数），这时可表示为，其中m,n，k∈N*，且m，n互质。特别，当n=1时为整数指数幂。
所以当x趋近于0时，所有幂函数都趋近于0。
扩展资料：
一、对数函数的其他性质
1、定点：
对数函数的函数图像恒过定点（1，0）
2、单调性：
（1）a>1时，在定义域上为单调增函数。
（2）0<a<1时，在定义域上为单调减函数。
3、奇偶性：
非奇非偶函数。
4、周期性：
不是周期函数。
5、零点：
x=1注意：负数和0没有对数。
二、指数函数的其他性质
1、函数图形都是上凹的。函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，并且永不相交。
2、单调性：
（1）a>1时，则指数函数单调递增。
（2）若0<a<1，则指数函数单调递减。
3、定点：
函数总是通过（0，1）这点（若y=a*+b，则函数定过点{0，1+b）}
4、奇偶性：
指数函数是非奇非偶函数
5、反函数
指数函数具有反函数，其反函数是对数函数，它是一个多值函数。
三、幂函数的的其他性质
1、奇偶性：
（1）当m，n都为奇数，k为偶数时，定义域、值域均为R，为奇函数。
（2）当m，n都为奇数，k为奇数时，定义域、值域均为{x∈R|x≠0}，也就是（-∞，0）∪（0，+∞），为奇函数。
（3）当m为奇数，n为偶数，k为偶数时，定义域、值域均为[0，+∞），为非奇非偶函数。
（4）当m为奇数，n为偶数，k为奇数时，定义域、值均为（0，+∞），为非奇非偶函数。
（5）当m为偶数，n为奇数，k为偶数时，定义域为R、值域为[0，+∞），为偶函数。
（6）当m为偶数，n为奇数，k为奇数时，定义域为{x∈R|x≠0}，也就是（-∞，0）∪（0，+∞），值域为（0，+∞），为偶函数。
2、正值性质
当α>0时，幂函数有下列性质：
(1)图像都经过点（1,1），（0,0）。
(2)函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数。
(3)在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0。
3、负值性质
当α<0时，幂函数有下列性质：
（1）图像都通过点（1,1）。
（2）图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。
（3）在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。
4、零值性质
当α=0时，幂函数有下列性质：
的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。
参考资料来源：百度百科-对数函数
参考资料来源：百度百科-指数函数
参考资料来源：百度百科-幂函数
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时间：2024-11-16 06:30
指数函数、对数函数、幂函数的图像规律
指数函数、对数函数、幂函数的图像规律可以通过它们的性质和特点来理解。
指数函数的图像通常是一条向上开口的曲线，表示为y=axy=a^xy=ax（a>0,a≠1a>0, a\neq1a>0,a=1）。其性质包括在y轴上的截距为1，改变指数会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移；改变函数的系数会改变函数的尺度，即函数图像会发生伸缩。指数函数的图像和性质表明，当底数a>1a>1a>1时，函数是增函数；当0<a<10<a<10<a<1时，函数是减函数1。
对数函数的图像通常是一条向右开口的曲线，表示为y=loga(x)y=\log_a(x)y=loga(x)（a>0,a≠1a>0, a\neq1a>0,a=1）。对数函数的性质包括在y轴上的截距为0，改变对数函数的底数会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移；改变函数的系数会改变函数的尺度，即函数图像会发生伸缩。对数函数的图像和性质表明，当底数a>1a>1a>1时，函数是增函数；当0<a<10<a<10<a<1时，函数是减函数1。
幂函数的图像可以是一条向上开口的曲线，也可以是一条向右开口的曲线，通常表示为y=xny=x^ny=xn（nnn为常数）。幂函数的性质包括当n>0n>0n>0时，幂函数的图像是一条向上开口的曲线；当n<0n<0n<0时，幂函数的图像是一条向右开口的曲线；当n=0n=0n=0时，幂函数的图像是一条水平直线。幂函数的图像在y轴上的截距为1。改变幂函数的指数会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移；改变函数的系数会改变函数的尺度，即函数图像会发生伸缩1。
综上所述，这三种函数的图像规律和性质可以通过调整底数、指数和系数来控制，从而影响图像的位置、形状和尺度。理解这些性质有助于更好地掌握和应用这些数学工具
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