...交点为I,作点P使IP=OP,求证点P在线段OB的垂直平分线上。_百度...
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发布时间：2024-10-01 00:40
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时间：2024-10-09 08:40
证明：
连接BP，
∵IP=OP，
∴∠PIO=∠POI，
∵∠PIO=∠OAI+∠AOI=45°+x【按你标注的】
∠POI=∠POB+∠IOB=45°+∠POB，
∴∠POB=x，
∴∠POB=∠PAB，
∴A、O、P、B四点共圆，
∵∠OAP=∠PAB，
∴OP=BP，
∴点P在OB的垂直平分线上。
【注】四点共圆现在已停用，可用相似证明。
设AP与OB交于C，
∵∠OAP=∠CAB=x，
∠APO=∠ABC=90°-2x【易证】
∴△OAP∽△CAB（AA），
∴AO/AC=AP/AB，
又∵∠OAC=∠PAB，
∴△OAC∽△PAB（SAS），
∴∠APB=∠AOC=90°，
∴∠CBP=∠CAO=x，
∴∠POC=∠CPP=x，
∴OP=BP，
∴点P在OB的垂直平分线上。
