复数的三角表示 (高中数学)
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发布时间：2024-09-30 14:51
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时间：2024-12-02 11:01
设复数为 z = r(cosθ + isinθ)，其中 r 是复数的模，θ 是复数的方向角，称为幅角。通过三角函数，我们可以将复数表示为模与幅角的乘积。若 z 的幅角为 θ，则 z 的三角表示为 z = r(cosθ + isinθ)。
值得注意的是，模 r 的取值范围是约定的，对于任何复数 z，通过三角表示可以唯一确定一个复数，且这个复数可以用约定的模角表示。实部和虚部的表示更有利于进行加法运算，而三角表示则有利于进行乘法运算。
设复数 z1 和 z2 分别为 r1(cosθ1 + isinθ1) 和 r2(cosθ2 + isinθ2)，则 z1 和 z2 相乘的结果为 z1 * z2 = r1r2(cos(θ1 + θ2) + isin(θ1 + θ2))。这意味着，两个复数相乘时，只需将模相乘，并将幅角相加。
从三角表示的角度来看，共轭复数的模相等，幅角相反。由此验证了共轭复数的乘积总是实数。接下来，我们将回答复数的乘方和开方问题。
设复数 z 的幂次为 n，则 z 的 n 次幂为 z^n = r^n(cos(nθ) + isin(nθ))。通过数学归纳法，我们可以得到 z^n 的具体表达式。对于复数的开方问题，存在 n 个复数是 z 的 n 次方根，它们分别是 ωk = r^(1/n)(cos(θ/n + 2kπ/n) + isin(θ/n + 2kπ/n))（k = 0, 1, ..., n-1）。这些方根满足 z 的 n 次幂等于 1。
通常，当我们说 z^(1/n) 或 z^(m/n) 时，指的是 z 的算术 n 次方根或 m/n 次方根，且是复数。正数的算术 n 次方根总是正数，而负数的算术 n 次方根通常不是实数。在实分析中，人们通常避免讨论负数的非整数次幂。
最后，我们扩展复数幂的概念到复数次幂。设复数 z 的幂次为 w，则 z^w 定义为 z^(x+iy) = e^(x+iy log z)，其中 log z 表示 z 的复数对数。通过此定义，我们确定了复变函数 w → z^w，它在复数范围内存在反函数。
总之，复数的三角表示为高中数学中提供了强大的工具，它不仅简化了复数的运算，还为我们解决了复数的乘方与开方问题。通过模、幅角以及三角函数，我们可以直观地理解和计算复数的各种运算。
