二阶常系数齐次线性差分方程的一般解法
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发布时间：2024-10-01 09:11
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时间：2024-11-10 01:51
解释术语
我们称形式为（我们在中学学过的符号）的方程为差分方程。
一个[n]阶差分方程可以写成
其中最大指数和最小指数的差是[n]。
因此，一个二阶差分方程是以下形式
如果方程可以写成
其中[a]可能依赖于[a]，则称为线性方程。
如果[a]我们称方程为齐次方程。否则，它被称为非齐次方程。
如果系数[a]是常数，这意味着[a]与指数无关，我们说方程具有常数系数。
因此，本文要讨论的是一种差分方程，其形式为
或者我们将其转换为形式（你将在以下段落中了解为什么我要这样做）
其中[a]（否则它将不是二阶差分方程）
如果函数有一个附加条件如[a]，使得我们可以求解唯一的函数，我们称这些条件为初始条件。
现在我们可以开始求解它了。
方法1：使用几何序列
显然，[a]是满足方程的一个解。但如果我们只关注零解，那可能有点无聊，甚至无益。我们主要关心的是通解，这意味着所有可能的解都可以用它来表示。
我们首先考虑一个形式为[a]且满足方程的几何序列。假设公比为[a]，那么我们有
即
比较系数，我们得到
所以根据维达公式，[a]和[a]是方程的解
我们可以轻松地解这个方程，得到
设[a]（[a]可以是[a]或[a]）。那么[a]是一个几何序列。为了不失一般性，我们令[a]，那么[a]因此
由于[a]，[a]，然后我们有
因此
如果[a]，即[a]，我们可以得到
注意到[a]。因此
其中[a]
如果[a]，那么[a]和[a]可以写成[a]。所以通过使用德莫弗公式，我们可以得到
其中[a]。等式意味着解是[a]的形式。同样，我们可以通过初始条件求解[a]。
如果[a]，即[a]，那么
因此
这意味着解是形式[a]的形式，其中[a]可以通过使用初始条件求解。
更好的计算方法
当我们得到公式[a]时，我们可以得到另一个类似的等式
因此，当[a]时，通过克莱姆法则，我们得到
因此，我们得到了相同的答案，但计算量大大减少！
方法2：使用特征方程和根
在了解了方法1之后，你可能觉得计算很复杂，容易出错（也许作者本人也有一些），最好找到一个更简单的解，以减少计算量并降低错误率。因此，这种方法应运而生。
我们首先猜测（我不知道提出这个想法的人的想法，但我们只能遵循他的步骤）解的形式为[a]。我们将其代入方程，将得到
我们假设[a]，然后我们可以得到[a]。这个方程是我们在方法1中看到的方程，但现在这个方程有了新的意义，即其解直接是初始差分方程的解。我们称[a]的方程[a]的特征方程。特征方程的解称为特征根。
现在我们有一个问题：在大多数情况下，方程[a]有两个不同的根，这两个根都包含在通解中吗？你可能可以在下面的引理中找到答案：
引理：齐次方程的叠加
引理：如果[a]是差分方程[a]的解，那么[a]也是方程的解。
证明：基于条件，我们有
然后
Q.E.D.
现在又出现了一个新问题：什么是通解的形式。以方程[a]为例，它是它的通解[a]、[a]还是其他？定理1告诉我们答案。
定理1：不同特征根的解
定理：如果[a]是特征方程[a]的两个不同根（这意味着[a]），那么差分方程的通解是
其中[a]是常数，[a]
证明：基于引理，[a]是差分方程[a]的解
因此，我们需要证明的是，对于任何初始值[a]和[a]，我们可以得到差分方程的唯一特解（这个陈述等价于任何方程的解都可以用通解表示）。
给定初始值[a]和[a]，我们可以得到线性系统：
由于[a]，系数行列式的
因此，线性系统有唯一解[a]。因此，方程的通解是[a]。
Q.E.D.
我们还有一个问题要做：如果[a]怎么办？仍然，有一个定理为我们提供了答案：
定理2：重复特征根的解
定理：如果特征根的两个根相同（[a]），它们都可以表示为[a]，差分函数的通解是
其中[a]
证明不难，你可以自己试试。（*^_^*）
方法3：使用生成函数
到目前为止，我们没有使用微积分方法。为了证明微积分确实非常有用，我们决定使用级数理论来解方程。
我们首先考虑一个级数（我们假设[a]存在）
其中[a]称为生成函数。
由于[a]
因此
如果[a]，[a]可以分解为两个部分分数
然后我们使用泰勒展开
再次我们得到了通解的一般形式[a]
如果[a]，[a]可以写成
然后使用泰勒展开
仍然，[a]类似于形式[a]。
方法4：使用线性代数
线性代数在解差分方程中也很有用。不仅我们可以用这种方法解决问题，还可以用这种方法解一些差分方程的系统。有些人可能会想，如果我们想使用线性代数，我们必须找到向量与向量之间的关系，但我们如何得到它。
现在我们考虑方程[a]，如果我们考虑方程[a]，我们可以将其重写为[a]。
然后我们可以用矩阵形式重写方程，即
因此，我们得到了两个向量之间的关系，如果我们表示[a]，那么通过计算[a]，我们可以得到方程的解。
（在理论 上，一种方法是使用归纳法找到[a]的元素规律，另一种方法是使用[a]的特征分解，即[a]（[a]是非奇异的）来计算。而在实践中，当[a]足够大时，我们可以使用快速幂算法来计算结果。）
一个例子：斐波那契数列
斐波那契数列是一个数列[a]，给定差分方程和初始值如下：
该方程的特征函数是
通过解这个方程，我们可以得到特征根
因此，通解是
然后我们将[a]代入方程，得到
因此
所以，我们得到特解
总结
我们介绍了四种解二阶线性齐次常数系数差分方程的方法。有趣的是，所有这些方法都可以用于解[a]阶线性差分方程（仍然，上述属性是必要的）。如果你对此感兴趣，可以尝试一下。
