计算1到99的平方和?

发布网友发布时间：2024-09-30 19:51

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热心网友时间：2024-10-14 06:48

首先可以知道存在这样一个数列{an}:1*2,2*3,3*4,...,99*100

可以看出数列的通项公式为 an=n(n+1)=n^2+n

从上面可以得到启示

1*2=1^2+1

2*3=2^2+2

3*4=3^2+3

.

.
99*100=99^2+99

于是原式=（1^2+2^2+3^2+...+99^2）+（1+2+3++...+99）

1到99的平方和可以用平方和公式 sn= n(n+1)(2n+1)/6(证明放在最后面)

即：1^2+2^2+3^2+...+99^2=99*100*199/6=328350

1+2+3+...+99=（1+99）99/2=4950

因此原式=328350+4950=333300

(附)平方和公式证明如下

证明1＋4＋9＋…＋n^2＝N(N+1)(2N+1)/6

1、N＝1时，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1

2、N＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5

3、设N＝x时，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6

则当N＝x＋1时，

1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2

＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6

＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6

＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6

＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6

也满足公式

4、综上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。