...+c^2-b^2/2ac+a^2+b^2-c^2/2ab=1,求证:这三个分数的值有两个为1...

发布网友 发布时间：2024-10-01 02:18

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热心网友 时间：2024-11-13 23:47

a+b=c,a=c-b,b=c-a,b^2+c^2-a^2/2bc+a^2+c^2-b^2/2ac+a^2+b^2-c^2/2ab=b^2+c^2-(c-b)^2/2bc+a^2+c^2-(c-a)^2/2ac+a^2+b^2-(a+b)^2/2ab=2bc/2bc+2ac/2ac-2ab/2ab=1+1-1=1

热心网友 时间：2024-11-13 23:48

证明：由题设得：

b²+c²-a²
2bc
+
c2+a2-b2
2ca
+
a2+b2-c2
2ab
=1，
即（
b2+c2-a2
2bc
-1）+（
c2+a2-b2
2ca
-1）+（
a2+b2-c2
2ab
+1）=0，
∴
b2+c2-a2-2bc
2bc
+
a 2+c2-b2-2ac
2ac
+
a2+b2-c2+2ab
2ab
=0，

∴
(b-c) 2-a2
2bc
+
(a-c) 2-b2
2ac
+
(a+b) 2-c2
2ab
=0，
∴
a(b-c+a)(b-c-a)+b(a-c+b)(a-c-b)
2abc
+
c(a+b+c)(a+b-c)
2abc
=0，
∴
(a+b-c)(ab-ac-a2+ab-bc-b2+ac+bc+c2)
2abc
=0，

∴
(a+b-c)[c2-(a-b) 2]
2abc
=0，
∴
(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)
2abc
=0，
∴a+b-c=0或c-a+b=0或c+a-b=0，
（1）若a+b-c=0，则

b2+c2-a2
2bc
=
b2+c2-(b-c) 2
2bc
=1，

c2+a2-b2
2ca
=
c2+a2 -(c-a) 2
2ac
=1，

a2+b2-c2
2ab
=
a2+b2-(a+b) 2
2ab
=-1，
（2）若c+a-b=0，同理可得：

b2+c2-a2
2bc
=1，
c2+a2-b2
2ca
=-1，
a2+b2-c2
2ab
=1，
（3）若b+c-a=0，同理可得：

b2+c2-a2
2bc
=-1，
c2+a2-b2
2ca
=1，
a2+b2-c2
2ab
=1，
综上所述（1）、（2）、（3）可得，三个分数，

b2+c2-a2
2bc
、
c2+a2-b2
2ca
、
a2+b2-c2
2ab

的值有两个为1，一个为-1．