线性代数中,矩阵与其转置的秩相等吗?

发布网友发布时间：2024-09-26 19:24

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热心网友时间：2024-10-10 05:34

结论已经明确，我们来直观解释：在线性代数中，如果有一个单位列向量a，那么矩阵a与其转置a的乘积（记为AA）的秩（r(AA)）与a的秩（r(A)）是相等的，其值为1。这个结论的证明基于秩的性质和向量的线性组合。

首先，我们注意到秩r(A)表示线性方程组AX=0的基础解系中的向量个数。当我们将这个方程组两边同时左乘A得到AAX=0，这表明原方程组的所有解也都是新方程组的解。反之，如果AAX=0，通过将两边左乘X并定义Y=AX，我们可以看到YY=0，即Y的各个分量的平方和为零。这意味着Y的每个分量都是零，所以Y本身也是零向量，即AX=0，从而证明了AAX=0的解也是AX=0的解。

由于这两个方程组的解集相同，它们的秩自然也是相同的。因此，矩阵AA的秩r(AA)等于原向量a的秩r(A)，即r(AA)=r(A)=1。这就是为什么单位列向量a乘以其转置的秩为1的原因。