如图,在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O.试说明AE+...
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发布时间:2024-09-26 16:49
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时间:2024-10-04 02:19
解答:证明:在△ABC中,∠B=60°,
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°.
∵AD平分∠BAC,CE平分∠ACB,
∴∠OAC=∠OAB=12∠BAC,∠OCD=∠OCA=12∠ACB,
在△OAC中,∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)
=180°-12(∠BAC+∠ACB)=180°-12×120°=120°.
∴∠AOE=180°-∠AOC=180°-120°=60°.
在AC上截取AF=AE,连接OF,如图,
在△AOE和△AOF中,AE=AF,∠OAE=∠OAF,OA=OA,
∴△AOE≌△AOF(SAS),
∴∠AOE=∠AOF,
∴∠AOF=60°.
∴∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°.
又∠COD=60°,
∴∠COD=∠COF.
在△COD和△COF中,∠COD=∠COF,OC=OC,∠OCD=∠OCF,
∴△COD≌△COF(ASA),
∴CD=CF.
又∵AF=AE,
∴AC=AF+CF=AE+CD,
即AE+CD=AC.