三角专题6-三角函数图像与性质
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发布时间：2024-09-25 16:54
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时间：2024-10-05 13:21
三角专题6——三角函数图像与性质的深度探索
当面对一个函数问题，f(x) = asin(wx) + cos(wx)，a>0, w>0，其最大值锁定在2，且我们需在这段区间[0, 7]内观察到至少两次函数的巅峰时刻，此时，我们的目标是找出w的最小整数值。这个看似复杂的题目，实则隐藏着巧妙的数学逻辑和三角函数的奥秘。
首先，我们需要利用辅助角公式，将正弦和余弦的结合简化为单一的正弦函数形式。通过函数的最大值条件，我们有：a^2 + 1 = 2^2，解得a = √3。
接着，考虑函数在[0, 7]区间内的周期性。由于w决定了函数的周期，我们关注的是w如何确保在两个完整周期内，即两个完整的2π/w单位时间内，至少有两个最大值出现。为了使w达到最小整数值，我们可以从w=1开始分析，因为这将使得函数在每个单位长度内只有一个最大值点。
当w=1时，x在[0, 7]内只会在x=0和x=2π时达到最大值，显然不符合题意。为了得到第二个最大值，我们需要增加w的单位，使函数至少在x=2π和x=4π这两个点上达到最大值。因此，w的最小整数值至少为2。
此题不仅考察了三角函数的基本性质，还涵盖了逻辑推理和数学运算的精妙结合。它就像一个隐形的拼图，需要我们一步步解密。在实际解题过程中，细心观察周期、结合图像和理解函数的内在规律至关重要。
如果你对这个解题过程还有任何不解，或者想进一步提升自己的解题技巧，可以尝试解决类似16年全国卷1的第12题，这将是一个很好的实战练习。同时，别忘了，“高中数学谭老师”的公众号里有更多深入的解析和变式训练，欢迎随时探索。
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