已知指数函数y=g(x)满足:g(2)=4,定义域为R上的函数 f(x)= -g(x)+n...

发布网友发布时间：2024-09-25 15:21

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热心网友时间：2024-10-04 10:35

（I）设g（x）=a x （a＞0，a≠1），由g（2）=4得a=2，故g（x）=2 x ，…（2分）
∵函数 f(x)= -g(x)+n g(x)+m = - 2 x +n 2 x +m 是奇函数
∴f（0）= -1+n 1+m =0
∴n=1；又由f（1）=-f（-1）知 - 2 +1 2 +m =- - 1 2 +1 1 2 +m ，解得m=1
∴f（x）= 1- 2 x 1+2 x
（II）f（x）= 1- 2 x 1+2 x 在（-∞，+∞）上为减函数，理由如下：
设x 1 ，x 2 ∈R，且x 1 ＜x 2 ，
∴ 2 x 1 ＜ 2 x 2 ，1+ 2 x 1 ＞0，1+ 2 x 2 ＞0，
∴f（x 1 ）-f（x 2 ）= 1- 2 x 1 1+2 x 1 - 1- 2 x 2 1+2 x 2 = 2(2 x 2 - 2 x 1 ) (1+2 x 1 )( 1+2 x 2 ) ＞0
即f（x 1 ）＞f（x 2 ）
故f（x）= 1- 2 x 1+2 x 在（-∞，+∞）上为减函数
证明：（III）若方程f（x）=b在（-∞，0）上有解，
即 1- 2 x 1+2 x = 2 1+2 x -1=b在（-∞，0）上有解，
∵此时2 x ∈（0，1）
∴ 2 1+2 x -1∈（0，1）
从而b∈（0，1）
由（II）得f（x）= 1- 2 x 1+2 x 在（-∞，+∞）上为减函数
∴f（1）＜f（b）＜f（0）．
即 - 1 3 ＜f（b）＜0
即：-1＜3f（b）＜0