考研数学第二十三弹---特征值与二次型
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发布时间：2024-09-25 20:05
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时间：2024-10-23 14:00
定义：设A为n阶方阵，x为非零列向量。若存在数λ，使得Ax = λx，则称λ为A的特征值，x为特征向量。
求法：Ax = λx 可以转换为(A - λI)x = 0。整理得特征多项式：|A - λI| = 0。求出λ后，带入Ax = λx求出基础解系x。
k重特征值至多只有k个线性无关的特征向量。一个特征值可对应多个特征向量，但一个特征向量只能对应一个特征值。
计算特征值：计算特征值后，最好的检验办法是检查是否等于迹。
求解特征值时，可能需要猜测根，利用多项式的带余除法来求解。对于整系数多项式，若它有一个有理根，则该根的正负因子都是可能的根。如果无法直接求根，可以利用凯莱-哈密顿定理等性质来帮助计算。
矩阵分解时，如果矩阵A可拆分成nB+E，则计算A的特征值与特征向量可以转换为求B的特征值与特征向量。
性质：
特征值的和等于迹，特征值的乘积等于行列式。若x为A的特征向量，则x也是特征值对应的特征向量。若x为A的特征向量，则对于任意矩阵A，x也是A的特征向量。特征值与特征向量的性质适用于矩阵的运算，如矩阵的逆、转置、伴随矩阵。
特征值的性质有助于证明矩阵的特征值，例如证明正交矩阵A的实特征值的绝对值为1，或求解二次型的特征值。
相似矩阵：
相似矩阵有相同的特征值、特征多项式、迹、秩、特征向量线性无关。相似矩阵一定有相同的特征值，但特征值相同不一定相似，除非矩阵是对称矩阵。
若矩阵A，B有相同特征值且均可对角化，则AB相似。对于3阶矩阵，若两个矩阵特征值相同，且相同特征值对应的线性无关的特征向量个数相同，则它们相似；对于四阶及以上矩阵，则结论不成立。
矩阵对角化：
n阶方阵A有n个线性无关的特征向量时，可以对角化，对角化的元素为其n个特征值。n阶方阵可对角化的充要条件是代数重数等于几何重数，即每个特征值对应的几何重数等于其代数重数。对于n个特征值互不相等的矩阵，A必可对角化。若n阶方阵n个特征值互不相等，则A必可对角化。满足条件的矩阵可以化为对角矩阵，特征向量作为列向量组成可逆矩阵P，注意特征向量的位置要对应特征值在对角矩阵的位置。
实对称矩阵的对角化：
实对称矩阵的特征值为实数，不同特征值的特征向量必正交。充分条件是实对称矩阵必定可对角化且正交相似于对角阵。代数重数等于几何重数，正交相似于对角阵。若两实对称矩阵相似，则它们合同；反之不成立。
二次型：
二次型是由含有n个变量的二次齐次多项式构成，形式为f(x1, x2, ..., xn) = xTAx。A为实对称矩阵，二次型f的秩即为矩阵A的秩。通过正交变换x=Py，可以将二次型化为标准型，其中P为可逆矩阵。合同矩阵的正负惯性指数相同，正负惯性指数、秩、符号差任意确定两者，其余都确定了。
化标准型的过程涉及对实对称矩阵进行对角化，通过正交变换达到简化二次型的目的。配方法和雅可比法是化简二次型的两种常见方法。利用规范型和主轴定理，可以将二次型简化为标准型。
正定二次型：
正定二次型是所有非零解向量对应的值大于零的二次型。正定矩阵定义在实对称矩阵上，对于实对称矩阵A，其正定性等价于A的特征值全为正数，或者A合同与单位矩阵E。正定矩阵的性质包括转置、伴随、幂、数乘均为正定矩阵。
一些
矩阵AB和BA有相同的非零特征值，且重数相同。存在可逆阵C使得正定阵A和实对称阵B同时单位对角化。存在正定阵B使得A为正定阵的性质。二阶矩阵的特征值可以直接通过求解特征多项式来得到。若A, B为同阶方阵，则A的逆矩阵也为正定矩阵。合同变换保持正定性。
应用：
在二元函数判断极值时，Hesse矩阵的性质可以用来分析函数的性质。通过化简二次型为标准型，可以很容易判断圆锥曲线的形状，如圆、椭圆、双曲线和抛物线。在斐波那契数列的求解中，通过构造矩阵形式并进行矩阵运算，可以利用特征值和特征向量的性质来求得数列的通项公式。
